Question

त्रिभुज ABC में, जिसका कोण B समकोण है, यदि tan A = `1/sqrt3` है, तो निम्नलिखित के मान ज्ञात कीजिए।

1. sin A cos C + cos A sin C
2. cos A cos C − sin A sin C

Answer 1

tan A = `1/sqrt3`

`("BC")/("AB") = 1/ sqrt3`

यदि BC k है, तो AB `sqrt3k` होगा, जहाँ k एक धनात्मक पूर्णांक है।

In ΔABC,

AC² = AB² + BC²

= `(sqrt3k)^2 + (k)^2`

= 3k² + k² 

= 4k²

∴ AC = 2k

sin A = `("∠A की संलग्न भुजा")/"कर्ण" = ("BC")/("AC") = k/(2k) = 1/2`

cos A = `("∠A की संलग्न भुजा")/"कर्ण" = ("AB")/("AC") = (sqrt3k)/(2k) = sqrt3/2`

sin C = `("∠C की संलग्न भुजा")/"कर्ण" = ("AB")/("AC") = (sqrt3k)/(2k) = sqrt3/2`

cos C = `("∠C की संलग्न भुजा")/"कर्ण" = ("BC")/("AC") = (k)/(2k) = 1/2`

(i) sin A cos C + cos A sin C

= `(1/2)(1/2)+(sqrt3/2)(sqrt3/2) `

= `1/4 + 3/4`

= `4/4`

= 1

(ii) cos A cos C − sin A sin C

= `(sqrt3/2)(1/2)-(1/2)(sqrt3/2)`

= `sqrt3/4 - sqrt3/4`

= 0