Question

एक सीढ़ी एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे टिकी हुई है तथा क्षैतिज से α कोण बनाती है। इसके निचले सिरे को दीवार से p दूरी अधिक पर कर दिया जाता है, जिससे सीढ़ी का ऊपरी सिरा दीवार पर q दूरी नीचे खिसक जाता है तथा उस समय सीढ़ी क्षैतिज से कोण β बनाती है। दर्शाइए कि `p/q = (cos β - cos α)/(sin α - sin β)` है।

Answer 1

माना OQ = x और OA = y

दिया गया है कि, BQ = q, SA = P और AB = SQ = सीढ़ी की लंबाई

साथ ही, ∠BAO = α और ∠QSO = β

अब, ΔBAO में,

cos α = `"OA"/"AB"`

⇒ cos α = `y/"AB"`

⇒ y = AB cos α = OA  ...(i)

और sin α = `"OB"/"AB"`

⇒ OB = BA sin α   ...(ii)

अब, ΔQSO में

cos β = `"OS"/"SQ"`

⇒ OS = SQ cos β = AB cos β  ...[∵ AB = SQ]  ...(iii)

और sin β = `"OQ"/"SQ"`

⇒ OQ = SQ sin β = AB sin β  ...[∵ AB = SQ]  ...(iv)

अब, SA = OS – AO

P = AB cos β – AB cos α

⇒ P = AB(cos β – cos α)  ...(v)

और BQ = BO – QO

⇒ q = BA sin α – AB sin β

⇒ q = AB(sin α – sin β)  ...(vi)

समीकरण (v) को समीकरण (vii) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है।

`"p"/"q" = ("AB"(cos β - cos α))/("AB"(sin α - sin β)) = (cos β - cos α)/(sin α - sin β)`

⇒ `"p"/"q" = (cos β - cos α)/(sin α - sin β)`

अतः सिद्ध हुआ।