Question

सिद्ध कीजिए कि, समांतर चतुर्भुज के चारों कोणों के समद्‌विभाजकों से बना चतुर्भुज आयत होता है।

Answer 1

दत्त: `square` ABCD समांतर चतुर्भुज है।

साध्य: `square` PQRS आयत है।

उपपत्ति:

`square` ABCD समांतर चतुर्भुज है।    ...(दत्त)

∠ADC + ∠BCD = 180°     ...(समांतर चतुर्भुज के क्रमिक कोण संपूरक होते हैं।)

प्रत्येक पक्ष में `1/2`, से गुणा करने पर,

`1/2` ∠ADC + `1/2` ∠BCD = `1/2xx180°`     ...(i)

परंतु, `1/2` ∠ADC = ∠PDC      ...(किरण DP, ∠ADC को समद्विभाजित करती है)    ...(ii)

तथा `1/2` ∠BCD = ∠PCD      ...(किरण CP, ∠BCD को समद्विभाजित करती है)    ...(iii)

∴ ∠PDC + ∠PCD = 90°          ...[(i), (ii) और (iii) से] ...(iv)

ΔPDC में,

∠PDC + ∠PCD + ∠DPC = 180°      ...(त्रिभुज के तीनो कोणों के मापों का योगफल 180° होता है।)

∴ 90° + ∠DPC = 180°      ...[(iv) से]

∴ ∠DPC = 180° - 90°

∴ ∠DPC = 90°

अर्थात ∠SPQ = 90°      ...(D-S-P, P-Q-C)   ...(v)

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं कि, ∠SRQ = 90°     ...(vi)

इसी प्रकार, ∠ASD = 90° तथा ∠BQC = 90°     ...(vii)

∠PSR = ∠ASD       ...(शीर्षाभिमुख कोण)

∴ ∠PSR = 90°       ...[(vii) से] ...(viii)

इसी प्रकार, ∠PQR = 90°     ...(ix)

`square` PQRS में,

∠SPQ = ∠SRQ = ∠PSR = ∠PQR = 90°     ...[(v), (vi), (viii) और (ix) से]

∴ `square` PQRS आयत है।