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प्रश्न
सिद्ध कीजिए कि एक R त्रिज्या के गोले के अन्तर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई `(2R)/sqrt3` है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
माना गोले की त्रिज्या, OA = R
बेलन के अक्ष के साथ θ कोण बनाती है।
बेलन की त्रिज्या = R sin θ
बेलन की ऊँचाई = 2 R cos θ
∴ बेलन का आयतन = πr2h
V = π (R sin θ)2 × 2 R cos θ
= 2πR3 sin2 θ cos θ
θ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
`(dV)/(d theta) = 2piR^2 [sin^2 theta (- sin theta) + cos theta * 2 sin theta cos theta]`
= 2πR3 [- sin3 θ + 2 cos2 θ sin θ]
= 2πR3 sin θ (2 cos2 θ - sin2 θ)
= 2πR3 sin θ (2 cos2 θ - 1 + cos2 θ)
= 2πR3 sin θ (3 cos2 θ - 1)
उच्चतम व निम्नतम के लिए, `(dV)/(d theta) = 0`
⇒ 2πR3 sin θ (3 cos2 θ - 1) = 0
3 cos2 θ - 1 = 0 या `cos^2 theta = 1/3`
`therefore cos theta = 1/sqrt3`
`cos theta = 1/sqrt3` पर `(dV)/(d theta)` का चिन्ह धन से ऋण में परिवर्तित हो जाता है, जब `theta, cos theta = 1/sqrt3` से होकर आगे बढ़ता है।
`=> cos theta = 1/sqrt3` पर V अधिकतम होता है।
ऊँचाई = 2 R cos θ = 2R `* 1/sqrt3 = (2R)/3`
∴ बेलन का अधिकतम आयतन = 2πR3 sin2 θ cos θ
`= 2pi"R"^3 (sqrt2/sqrt3)^2 1/sqrt3 ...[because cos theta = 1/sqrt3, sin theta = sqrt2/sqrt3]`
`= 2piR^3 xx 2/3 * 1/sqrt3`
`= (4 piR^3)/(3 sqrt3)` वर्ग इकाई
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