Question

Show that `cos  pi/15  cos  (2pi)/15  cos  (3pi)/15  cos  (4pi)/15  cos  (5pi)/15  cos  (6pi)/15  cos  (7pi)/15 = 1/128`

Answer 1

`(pi/15 = 12^circ)`

L.H.S = cos 12° cos 24° cos 36° cos 48° cos 60° cos 72° cos 84°  .....(1)

Consider (we know that)

cos A cos(60° + A) cos(60° – A)

= `cos "A" [cos^2 60^circ - sin^2"A"]`

= `cos "A"[1/4 - (1 - cos^2"A")]`

cos A cos(60° + A) cos(60° – A) = `1/4  cos 3"A"`

= `cos "A"[cos^2"A" - 3/4]`

= `(4cos^3 "A" - 3 cos "A")/4`

cos 12° cos 72° cos 48° = `1/4 cos 3(12^circ)`

= `1/4 cos 36^circ`

= `1/4[(sqrt(5) + 1)/4]`

Similarly cos 24° cos 84° cos 36° = `1/4 cos3 (12^circ)`

= `1/4 cos 72^circ`

= `1/4 cos(90^circ - 18^circ)`

= `1/4 sin 18^circ`

= `1/4[(sqrt(5) - 1)/4]`

(1) ⇒ L.H.S = `1/4[(sqrt(5) + 1)/4] * 1/4[(sqrt(5) - 1)/4] * 1/2`

= `1/4((sqrt(5) + 1)/4 * (sqrt(5) - 1)/4) * 1/2`

= `(5 - 1)/(128 xx 4)`

= `1/128`