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प्रश्न
निम्नलिखित आकृति में, समांतर चतुर्भुज ABCD की भुजा BC पर एक बिंदु P इस प्रकार स्थित है। कि ∠BAP = ∠DAP है। सिद्ध कीजिए कि AD = 2CD है।
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उत्तर
प्रश्न में दिया गया है, समान्तर चतुर्भुज ABCD में, P, BC का मध्य-बिन्दु इस प्रकार है कि ∠BAP = ∠DAP है।
सिद्ध करना है कि AD = 2CD
उपपत्ति - ABCD एक समांतर चतुर्भुज है।
तो, AD || BC और AB तिर्यक रेखा है, तो
∠A + ∠B = 180° ...[सहआंतरिक कोणों का योग 180° होता है।]
∠B = 180° – ∠A ...(i)
अब, त्रिभुज ABP में,
∠PAB + ∠B + ∠BPA = 180° ...[त्रिभुज के कोण योग गुण द्वारा]
`1/2 ∠A + 180^circ - ∠A + ∠BPA = 180^circ` ...[समीकरण (i) से]
`∠BPA - (∠A)/2 = 0`
`∠BPA = (∠A)/2` ...(ii)
∠BPA = ∠BAP
AB = BP ...[समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]
उपरोक्त समीकरण में दोनों पक्षों को 2 से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं।
2AB = 2BP
2AB = BC ...[P, BC का मध्य-बिंदु है।]
2CD = AD ...[ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, तो AB = CD और BC = AD]
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