Question

Let Z be the set of integers. Show that the relation
 R = {(a, b) : a, b ∈ Z and a + b is even}
is an equivalence relation on Z.

Answer 1

We observe the following properties of R.

Reflexivity :

Let a be an arbitrary element of Z. Then,

 a ∈ R

Clearly, a+a = 2a is even for all a ∈ Z.

⇒ (a, a) ∈ R for all a ∈ Z

So, R is reflexive on Z.

Symmetry :

Let (a, b) ∈ R

⇒ a+b is even

⇒ b+a is even

⇒ (b, a) ∈ R for all a, b ∈ Z

So, R is symmetric on Z.

Transitivity :

Let (a, b) and (b, c) ∈ R

⇒ a+b and b+c are even

Now, let a+b = 2x  for some x ∈ Z

and b+c = 2y for some y ∈ Z

Adding the above two, we get

  a+2b +c = 2x + 2y

⇒ a+c = 2 (x+y−b), which is even for all x, y, b ∈ Z

Thus, (a, c) ∈ R

So, R is transitive on Z.

Hence, R is an equivalence relation on Z