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प्रश्न
किसी शहर में एक वर्ष के 66 दिन की वर्षा का रिकार्ड नीचे सारणी में दिया गया है:
|
वर्षा (cm में) |
0 – 10 |
10 – 20 |
20 – 30 |
30 – 40 |
40 – 50 |
50 – 60 |
|
दिनों की संख्या |
22 |
10 |
8 |
15 |
5 |
6 |
'से कम प्रकार' और 'से अधिक प्रकार के' तोरणों का प्रयोग करके माध्यक वर्षा परिकलित कीजिए।
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उत्तर
हम देखते हैं कि, 0 से कम वाले शहर का वार्षिक वर्षा रिकॉर्ड 0 होता है। इसी तरह, 10 से कम में 0 से शहर के वार्षिक वर्षा रिकॉर्ड के साथ-साथ 0 – 10 तक के शहर का वार्षिक वर्षा रिकॉर्ड भी शामिल होता है।
तो, 10 सेमी से कम वाले शहर का कुल वार्षिक वर्षा रिकॉर्ड 0 + 22 = 22 दिन है। इसी तरह आगे बढ़ते रहने पर हमें 20, 30, 40, 50 और 60 से कम शेष मिलेंगे।
इसके अलावा, हम देखते हैं कि किसी शहर का 66 दिनों का वार्षिक वर्षा रिकॉर्ड 0 सेमी से अधिक या उसके बराबर है। चूँकि, 22 दिन 0 – 10 के अंतराल में आते हैं। तो, 66 – 22 = 44 दिनों का वार्षिक वर्षा रिकॉर्ड 10 सेमी से अधिक या उसके बराबर है। इसी तरह आगे बढ़ते रहने पर हमें 20, 30, 40, 50 और 60 से अधिक या उसके बराबर शेष मिलेगा।
अब, हम इससे कम और इससे अधिक प्रकार के लिए एक तालिका बनाते हैं।
|
(i) से कम प्रकार |
(ii) से अधिक प्रकार |
||
|
वर्षा (cm में) |
दिनों की संख्या |
वर्षा (cm में) |
दिनों की संख्या |
|
0 से कम |
0 |
0 से अधिक या उसके बराबर |
66 |
|
10 से कम |
0 + 22 = 22 |
10 से अधिक या उसके बराबर |
66 – 22 = 44 |
|
20 से कम |
22 + 10 = 32 |
20 से अधिक या उसके बराबर |
44 – 10 = 34 |
|
30 से कम |
32 + 8 = 40 |
30 से अधिक या उसके बराबर |
34 – 8 = 26 |
|
40 से कम |
40 + 15 = 55 |
40 से अधिक या उसके बराबर |
26 – 15 = 11 |
|
50 से कम |
55 + 5 = 60 |
50 से अधिक या उसके बराबर |
11 – 5 = 6 |
|
60 से कम |
60 + 6 = 66 |
60 से अधिक या उसके बराबर |
6 – 6 = 0 |
प्रकार से कम तोरण निकालने के लिए हम बिंदुओं को आलेखित करते हैं (0, 0), (0, 22), (20, 32), (30, 40), (40, 55), (50, 60), (60, 66) कागज पर और मुक्त हाथ से उन्हें जोड़ दें।
अधिक प्रकार का तोरण निकालने के लिए हम बिंदुओं को आलेखित करते हैं (0, 66), (0, 44), (20, 34), (30, 26), (40, 77), (50, 6) और (60, 0) ग्राफ़ पेपर पर और उन्हें मुक्त हाथ से जोड़ दें।
∵ दिनों की कुल संख्या (n) = 66
अब, `n/2 = 33`
सबसे पहले, हम दोनों तोरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर X-अक्ष के समानांतर एक रेखा खींचते हैं, जो आगे Y-अक्ष पर (0, 33) पर प्रतिच्छेद करती है। अब, हम दोनों तोरणों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर एक्स-अक्ष पर लंबवत एक रेखा खींचते हैं, जो आगे चलकर एक्स-अक्ष पर (21.25, 0) पर प्रतिच्छेद करती है, जो तोरणों का उपयोग करके आवश्यक माध्यिका है।
अत:, औसत वर्षा = 21.25 सेमी।
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संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित सरणी किसी मोहल्ले के 25 परिवारों में भोजन पर हुए दैनिक व्यय को दर्शाती है:
| दैनिक व्यय (रुपये में) | 100 − 150 | 150 − 200 | 200 − 250 | 250 − 300 | 300 − 350 |
| परिवारों की संख्या | 4 | 5 | 12 | 2 | 2 |
एक उपयुक्त विधि द्वारा भोजन पर हुआ माध्य व्यय ज्ञात कीजिए।
यदि नीचे दिए हुए बंटन का माध्यक 28.5 हो तो x और y के मान ज्ञात कीजिए:
| कक्षा अन्तराल | आवृत्ति |
| 0 - 10 | 5 |
| 10 - 20 | x |
| 20 - 30 | 20 |
| 30 - 40 | 15 |
| 40 - 50 | y |
| 50 - 60 | 5 |
| Total | 60 |
एक पौधे की 40 पत्तियों की लंबाइयाँ निकटतम मिलीमिटरों में मापी जाती है तथा प्राप्त आँकड़ों को निम्नलिखित सारणी के रुप में निरुपित किया जाता है:
| लंबाई (mm में) | पत्तियों की संख्या |
| 118 − 126 | 3 |
| 127 − 135 | 5 |
| 136 − 144 | 9 |
| 145 − 153 | 12 |
| 154 − 162 | 5 |
| 163 − 171 | 4 |
| 172 − 180 | 2 |
पत्तियों की माध्यक लंबाई ज्ञात कीजिए।
संकेत: माध्यक ज्ञात करने के लिए, आँकड़ो को सतत वर्ग अंतरालों में बदलना पड़ेगा, क्योकिं सूत्र में वर्ग 117.5 - 126.5 , 126.5 - 135.5 ,…,171.5 - 180.5 अंतरालों को सतत माना गया है। तब ये वर्ग में बदल जाते है।
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| जीवन काल (घंटों में) | लैंप की संख्या |
| 1500 – 2000 | 14 |
| 2000 – 2500 | 56 |
| 2500 – 3000 | 60 |
| 3000 – 3500 | 86 |
| 3500 – 4000 | 74 |
| 4000 – 4500 | 62 |
| 4500 – 5000 | 48 |
एक लैंप का माध्यक जीवन काल ज्ञात कीजिए।
एक स्थानीय टेलीफ़ोन निर्देशिका से 100 कुलनाम लिए गए और उनमें प्रयुक्त अंग्रेज़ी वर्णमाला के अक्षरों की संख्या का निम्नलिखित बारंबारता बंटन प्राप्त हुआ:
| अक्षरों की संख्या | उपनामों की संख्या |
| 1 - 4 | 6 |
| 4 − 7 | 30 |
| 7 - 10 | 40 |
| 10 - 13 | 6 |
| 13 - 16 | 4 |
| 16 − 19 | 4 |
कुलनामों में माध्यक अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। कुलनामों में माध्य अक्षरों की संख्या ज्ञात कीजिए। साथ ही, कुलनामों का बहुलक ज्ञात कीजिए।
अवर्गीकृत आँकड़ों का माध्यक और इन्हीं आँकड़ों को वर्गीकृत करने के बाद परिकलित माध्यक सदैव बराबर होते हैं। क्या आप सोचते हैं कि यह कथन सत्य है? कारण दीजिए।
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| साप्ताहिक आय (रू में) |
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| 0 – 1000 | 250 |
| 1000 – 2000 | 190 |
| 2000 – 3000 | 100 |
| 3000 – 4000 | 40 |
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| 5000 – 6000 | 5 |
| कुल | 600 |
माध्यम आय अभिकलित कीजिए।
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| प्राप्तांक | विद्यार्थियों की संख्या |
| 0 और उससे अधिक | 80 |
| 10 और उससे अधिक | 77 |
| 20 और उससे अधिक | 72 |
| 30 और उससे अधिक | 65 |
| 40 और उससे अधिक | 55 |
| 50 और उससे अधिक | 43 |
| 60 और उससे अधिक | 28 |
| 70 और उससे अधिक | 16 |
| 80 और उससे अधिक | 10 |
| 90 और उससे अधिक | 8 |
| 100 और उससे अधिक | 0 |
एक स्कूल के 50 विद्यार्थियों ने भाला फेंक प्रतियोगिता में भाग लिया। फेंकी गयी दूरियाँ (मीटर में) नीचे दी गई हैं:
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दूरी (m में) |
0 – 20 |
20 – 40 |
40 – 60 |
60 – 80 |
80 – 100 |
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विद्यार्थियों की संख्या |
6 |
11 |
17 |
12 |
4 |
माध्यक के सूत्र का प्रयोग करते हुए, माध्यक दूरी ज्ञात कीजिए।
एक स्कूल के 50 विद्यार्थियों ने भाला फेंक प्रतियोगिता में भाग लिया। फेंकी गयी दूरियाँ (मीटर में) नीचे दी गई हैं:
|
दूरी (m में) |
0 – 20 |
20 – 40 |
40 – 60 |
60 – 80 |
80 – 100 |
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विद्यार्थियों की संख्या |
6 |
11 |
17 |
12 |
4 |
क्या ऊपर (ii) और (iii) में प्राप्त किये गये माध्यक बराबर हैं?
