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प्रश्न
एक चतुर्भुज ABCD की भुजाएँ (एक क्रम में लेने पर) 6 cm, 8 cm, 12 cm और 14 cm हैं तथा प्रथम दो भुजाओं के बीच का कोण समकोण है। इसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
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उत्तर
दिया गया है ABCD एक चतुर्भुज है जिसकी भुजाएँ AB = 6 cm, BC = 8 cm, CD = 12 cm और DA = 14 cm हैं।
अब, AC से जुड़िए।
हमारे पास, ABC, B पर एक समकोण त्रिभुज है।
अब, AC2 = AB2 + BC2 ...[पाइथागोरस प्रमेय द्वारा]
= 62 + 82
= 36 + 64
= 100
⇒ AC = 10 cm ...[धनात्मक वर्गमूल लेने पर]
∴ चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल ...(i)
अब, ΔABC का क्षेत्रफल = `1/2 xx AB xx BC` ...[∵ त्रिभुज का क्षेत्रफल = `1/2` (आधार × ऊंचाई)]
= `1/2 xx 6 xx 8`
= 24 cm2
ΔACD में, AC = a = 10 cm, CD = b = 12 cm
और DA = c = 14 cm
अब, ΔACD की अर्ध-परिधि,
`s = (a + b + c)/2`
= `(10 + 12 + 14)/2`
= `36/2`
= 18 cm
ΔACD का क्षेत्रफल = `sqrt(s(s - a)(s - b)(s - c))` ...[हीरोन के सूत्र द्वारा]
= `sqrt(18(18 - 10)(18 - 12)(18 - 14))`
= `sqrt(18 xx 8 xx 6 xx 4)`
= `sqrt((3)^2 xx 2 xx 4 xx 2 xx 3 xx 2 xx 4)`
= `3 xx 4 xx 2 sqrt(3 xx 2)`
= `24sqrt(6) cm^2`
समीकरण (i) से,
चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल = ΔABC का क्षेत्रफल + ΔACD का क्षेत्रफल
`24 + 24sqrt(6)`
= `24(1 + sqrt(6)) cm^2`
अतः, चतुर्भुज का क्षेत्रफल `24(1 + sqrt(6)) "सेमी"^2` है।
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