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प्रश्न
चतुर्भुज PQRS की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में मिलाने पर बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है, यदि ______
पर्याय
PQRS एक समचतुर्भुज है
PQRS एक समांतर चतुर्भुज है
PQRS के विकर्ण परस्पर लंब हों
PQRS के विकर्ण बराबर हों
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उत्तर
चतुर्भुज PQRS की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं को, एक ही क्रम में मिलाने पर बना चतुर्भुज एक समचतुर्भुज होता है, यदि PQRS के विकर्ण बराबर हों।
स्पष्टीकरण -
दिया गया है, चतुर्भुज ABCD एक समचतुर्भुज है।
इसलिए, AB, BC, CD और AD भुजाएँ बराबर हैं।
अब, ΔPQS में, हमारे पास है।
D और C, PQ और PS के मध्य-बिंदु हैं।
तो, `DC = 1/2 QS` [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(i)
इसी प्रकार, ΔPSR में, `BC = 1/2 PR` [मध्य-बिंदु प्रमेय द्वारा] ...(ii)
चूँकि BC = DC ...[चूँकि ABCD एक समचतुर्भुज है।]
∴ `1/2 QS = 1/2 PR` ...[समीकरण (i) और (ii) से]
⇒ QS = PR
अतः, PQRS के विकर्ण बराबर हैं।
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