Question

ABCD एक समलंब है, जिसमें AB || DC और AD = BC है (देखिए आकृति में)। दर्शाइए कि

1. ∠A = ∠B
2. ∠C = ∠D
3. ΔABC ≅ ΔBAD
4. विकर्ण AC = विकर्ण BD है।

[संकेत: AB को बढ़ाइए और C से होकर DA के समांतर एक रेखा खींचिए जो बढ़ी हुई भुजा AB को E पर प्रतिच्छेद करे।]

Answer 1

हमें एक समलंब चतुर्भुज ABCD दिया गया है जिसमें AB || CD तथा AD = BC है।

(i) AB को E तक बढाकर CE || AD खींचिए        ...(1)

∵ AB || DC ⇒ AE || DC

साथ ही, AD || CE            ...[(1) से]

∴ AECD एक समांतर चतुर्भुज है।

⇒ AD = CE                ...(1)      ...[∵ समांतर चतुर्भुज की सम्मुख भुजाएँ बराबर होती हैं।]

लेकिन AD = BC           ...(2)      ...[दिया गया है।]

(1) और (2) से, BC = CE

अब, ΔBCE में, BC = CE है

⇒ ∠CEB = ∠CBE       ...(3)             ...[∵ त्रिभुज की बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण बराबर होते हैं।]

साथ ही, ∠ABC + ∠CBE = 180°       ...(4)       ...[रैखिक युग्म]

और ∠A + ∠CEB = 180°                 ...(5)    ...[समांतर चतुर्भुज ADCE के सह-आंतरिक कोण]

(4) और (5) से, हमें प्राप्त होता है

∠ABC + ∠CBE = ∠A + ∠CEB

⇒ ∠ABC = ∠A            ...[(3) से]

⇒ ∠B = ∠A                ...(6)

(ii) AB || CD तथा AD एक तिर्यक रेखा है।

∴ ∠A + ∠D = 180°               ...(7)        ...[सह-आंतरिक कोण]

इसी प्रकार, ∠B + ∠C = 180°           ...(8)

(7) और (8) से, हमें प्राप्त होता है

∠A + ∠D = ∠B + ∠C

⇒ ∠C = ∠D                          ...[(6) से]

(iii) ΔABC और ΔBAD में, हमारे पास है

AB = BA                    ...[उभयनिष्ठ]

BC = AD                   ...[दिया गया है।]

∠ABC = ∠BAD         ...[सिद्ध हुआ।]

∴ ΔABC ≅ ΔBAD        ...[SAS सर्वांगसमता से]

(iv) चूँकि, ΔABC ≅ ΔBAD     ...[सिद्ध हुआ।]

⇒ AC = BD             ...[C.P.C.T. से]