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ΔLMN ~ ΔPQR, 9 × A(ΔPQR ) = 16 × A (ΔLMN), यदि QR = 20 तो MN का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
यदि ΔABC तथा ΔPQR में किसी एकैकी संगति से यदि `(AB)/(QR) = (BC)/(PR) = (CA)/(PQ)` तो निम्नलिखित में से कौन-से कथन सत्य हैं?
Concept: दो त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का अनुपात ( Ratio of Areas of Two Triangles)
ΔABC में B – D – C और BD = 7, BC = 20, तो निम्नलिखित अनुपात ज्ञात कीजिए।
`(A(∆ABD))/(A(∆ABC))`
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
दी गई आकृति में, रेख AC तथा रेख BD एक-दूसरे को बिंदु P पर प्रतिच्छेदित करते हैं।
यदि `(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` हो, तो ΔABP ∼ ΔCDP सिद्ध करने के लिए निम्न कृति पूर्ण करो:
कृति: ΔABP तथा ΔCDP में,
`(AP)/(CP) = (BP)/(DP)` ..........`square`
∠APB ≅ `square` ...(शीर्षाभिमुख कोण)
∴ `square` ∼ ΔCDP ... (समरूपता की `square` कसोटी)
Concept: त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ
यदि ΔABC ∼ΔPQR, AB : PQ = 4 : 5 तथा A(ΔPQR) = 125 सेमी2 हो, तो A(ΔABC) का मान ज्ञात करो.
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
ΔABC में, रेख XY || रेख AC. यदि 2AX = 3BX तथा XY = 9 हो, तो AC का मान ज्ञात करो।
Concept: त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ
□ABCD समांतर चतुर्भुज है। बिंदु P, भुजा CD का मध्यबिंदु है। रेख BP यह विकर्ण AC को बिंदु X पर प्रतिच्छेदित करती है, तो सिद्ध करो कि 3AX = 2AC.
Concept: त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ
यदि ΔABC ∼ ΔPQR तथा `("A"(Delta"ABC"))/("A"(Delta"PQR")) = 16/25`, हो, तो AB : PQ का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
ΔPQR में, रेख PM माध्यिका है। ∠PMQ तथा ∠PMR के कोण समद्विभाजक भुजा PQ तथा भुजा PR को क्रमश: बिन्दु X तथा बिन्दु Y पर प्रतिच्छेदित करते हैं, तो सिद्ध कीजिए कि, XY || QR।
दिए गए रिक्त स्थानों की पूर्ति कर उपपत्ति पूर्ण कीजिए।
हल:
ΔPMQ में,
किरण MX यह ∠PMQ की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MQ" = square/square` .............(I) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
उसी प्रकार, ΔPMR में,
किरण MY यह ∠PMR की समद्विभाजक है।
∴ `"MP"/"MR" = square/square` .............(II) (कोण समद्विभाजक प्रमेय से)
परंतु `"MP"/"MQ" = "MP"/"MR"` ................(III) (बिन्दु M यह QR का मध्यबिन्दु है अर्थात MQ = MR)
∴ `"PX"/square = square/"YR"` ............[(I), (II) व (III) से]
∴ XY || QR ...........(समानुपात के मूलभूत प्रमेय का विलोम)
Concept: त्रिभुज के कोण समद्विभाजक का प्रमेय
ΔABC में रेख DE || भुजा BC | यदि 2A(ΔADE) = A(⬜ DBCE), तो AB : AD का मान ज्ञात कीजिए तथा सिद्ध कीजिए BC = `sqrt3` DE |
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
यदि Δ ABC और ~ Δ PQR और AB : PQ = 2 : 3 तो `(A(Δ "ABC"))/(A(Δ "PQR")` का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: समरूप त्रिभुजों के क्षेत्रफलों का प्रमेय (Theorem of Areas of Similar Triangles)
`square`ABCD एक समलंब चतुर्भुज है। AB || CD समलंब `square`ABCD के विकर्ण परस्पर बिंदु P में प्रतिच्छेदित करते हैं।
इस आधार पर नीचे दिए प्रश्नों के उत्तर लिखिए:
- दी गई जानकारी के आधार पर आकृति बनाइये।
- उस आधार पर एकांतर कोणों की तथा शीर्षाभिमुख कोणों की जोड़ियाँ लिखिए।
- समरूपता की कसौटीसह समरूप त्रिभुओं के नाम लिखिए।
Concept: त्रिभुजों की समरूपता की कसौटियाँ
ΔABC में, किरण BD यह ∠ABC का कोण समद्विभाजक है। A - D - C, रेख DE || भुजा BC, A - E - B हो, तो सिद्ध कीजिए `("AB")/("BC") = ("AE")/("EB")`
उपपत्ति:
ΔABC में, किरण BD यह ∠B को समद्विभाजित करता है।
∴ `square/("BC") = ("AD")/("DC")` ......(I) (`square`)
ΔABC में, DE || BC
∴ `(square)/("EB") = ("AD")/("DC")` ....(II) (`square`)
∴ `("AB")/square = square/("EB")` [(I) व (II) से]
Concept: त्रिभुज के कोण समद्विभाजक का प्रमेय
आकृति में ∠MNP = 90°, रेख NQ ⊥ रेख MP, MQ = 9, QP = 4, तो NQ का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: 30°-60°-90° माप वाले त्रिभुज का गुणधर्म
किसी आयत की लंबाई 35 सेमी तथा चौड़ाई 12 सेमी हो तो उस आयत के विकर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Concept: पायथागोरस का प्रमेय (Theorem of Pythagoras)
निम्नलिखित बहुवैकल्पिक प्रश्न के दिए गए उत्तरों में से उचित विकल्प चुनकर लिखिए।
निम्नलिखित में से कौन-से दिनांक की संख्या पायथागोरस का त्रिक् हैं?
Concept: पायथागोरस के त्रिक्
किसी समकोण त्रिभुज में समकोण बनाने वाली भुजाएँ क्रमश: 9 सेमी तथा 12 सेमी हों तो उस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई ज्ञात कीजिए।
Concept: पायथागोरस का प्रमेय (Theorem of Pythagoras)
ΔRST में, ∠S = 90°, ∠T = 30°, RT = 12 सेमी हो तो RS तथा ST का मान ज्ञात कीजिए।
Concept: 30°-60°-90° माप वाले त्रिभुज का गुणधर्म
ΔABC में रेख AP माध्यिका है। यदि BC = 18, AB2 + AC2 = 260 तो AP ज्ञात कीजिए।
Concept: अपोलोनियस का प्रमेय (Appollonius’ Theorem)
ΔABC में, ∠ABC = 90°, ∠BAC = ∠BCA = 45°. यदि AC = `9sqrt(2)` हो, तो AB का मान ज्ञात करो।
Concept: पायथागोरस के प्रमेय का विलोम
