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प्रश्न
संबंध f, \[f\left( x \right) = \begin{cases}x^2 , & 0 \leq x \leq 3 \\ 3x, & 3 \leq x \leq 10\end{cases}\] द्वारा परिभाषित है।
संबंध g, \[g\left( x \right) = \begin{cases}x^2 , & 0 \leq x \leq 2 \\ 3x, & 2 \leq x \leq 10\end{cases}\] द्वारा परिभाषित है।
दर्शाइए कि क्यों f एक फलन है और g फलन नहीं है।
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उत्तर
फलन f को परिभाषित किया गया है।
\[f\left( x \right) = \begin{cases}x^2 & 0 \leqslant x \leqslant 3 \\ 3x & 3 \leqslant x \leqslant 10\end{cases}\]
यह देखा गया है कि 0 ≤ x < 3, f (x) = x2 के लिए।
3 < x ≤ 10, f (x) = 3x
साथ ही, x = 3, f(x) = 32 = 9.
f (x) = 3 × 3 = 9.
अर्थात्, x = 3, f (x) = 9.
इसलिए, 0 ≤ x ≤ 10 के लिए, f (x) का प्रतिबिंब अद्वितीय हैं।
इस प्रकार, दिया गया संबंध एक फलन है।
फिर से, संबंध g को इस प्रकार परिभाषित किया गया है।
\[g\left( x \right) = \begin{cases}x^2 , & 0 \leqslant x \leqslant 2 \\ 3x, & 2\leqslant x \leqslant 10\end{cases}\]
यह देखा जा सकता है कि x = 2g(x) = 22 = 4 और साथ ही, g(x) = 3 × 2 = 6.
इसलिए, संबंध g के क्षेत्र में 2 दो अलग-अलग प्रतिबिंबों से संबंधित है, यानी 4 और 6।
अत: यह संबंध कोई फलन नहीं है।
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