Question

Let A = {1, 2, 3}, and let R₁ = {(1, 1), (1, 3), (3, 1), (2, 2), (2, 1), (3, 3)}, R₂ = {(2, 2), (3, 1), (1, 3)}, R₃ = {(1, 3), (3, 3)}. Find whether or not each of the relations R₁, R₂, R₃ on A is (i) reflexive (ii) symmetric (iii) transitive.

Answer 1

(1) R₁
 Reflexivity:
 Here,

(1, 1), (2, 2), (3, 3) ∈R

So, R₁ is reflexive.

Symmetry:

Here,

(2,1) ∈ R₁,but (1,2) ∉ R₁

So, R₁ is not symmetric.

Transitivity :

Here, (2, 1) ∈R₁ and (1, 3)∈R₁, but (2, 3)∉R₁ 

So, R₁ is not transitive.

(2) R₂
 Reflexivity :

Clearly, (1, 1) and (3, 3)∉R₂ 

So, R₂ is not reflexive.

Symmetry:

Here, (1, 3) ∈ R₂ and (3, 1) ∈ R₂

So, R₂ is symmetric.

Transitivity :

Here, (1,3) ∈ R₂ and (3,1) ∈ R₂ 

But (3, 3)∉R₂

So, R₂ is not transitive.

(3) R₃
Reflexivity :

Clearly, (1,1) ∉ R₃

So, R₃ is not reflexive.

Symmetry:

Here, (1, 3) ∈ R₃, but (3, 1) ∉ R₃

So, R₃ is not symmetric.

Transitivity :

Here, (1, 3) ∈ R₃ and (3, 3) ∈ R₃ 

Also, (1, 3) ∈ R₃

So, R₃ is transitive.