Question

एक समबाहु त्रिभुज की रचना कीजिए, जब इसकी भुजा दी हो तथा कारण सहित रचना कीजिए।

Answer 1

माना 5 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाएं। हम जानते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ बराबर होती हैं। अत: समबाहु त्रिभुज की सभी भुजाएँ 5 सेमी होंगी। हम यह भी जानते हैं कि एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60º होता है।

नीचे दिए गए चरणों का पालन करके 5 सेमी भुजा वाला एक समबाहु त्रिभुज बनाया जाएगा।

चरण I: - 5 सेमी लंबाई का एक रेखाखंड AB खींचिए। A को केंद्र मानकर किसी त्रिज्या का चाप खींचिए। मान लीजिए यह AB को P पर काटती है।

चरण II:- P को केंद्र मानकर एक चाप खींचिए जो पिछले चाप को E पर काटता है। AE को मिलाइए।

चरण III:- A को केंद्र मानकर 5 सेमी त्रिज्या का एक चाप खींचिए, जो विस्तारित रेखा खंड AE को C पर काटता है। AC और BC को मिलाइए। 5 सेमी भुजा वाला अभीष्ट समबाहु त्रिभुज ABC है।

निर्माण का औचित्य:

हम ABC को एक समबाहु त्रिभुज के रूप में दिखा कर रचना को न्यायोचित ठहरा सकते हैं, अर्थात्। 

AB = BC = AC = 5 cm तथा ∠A = ∠B = ∠C = 60°.

In ΔABC, अपने पास AC = AB = 5 cm तथा ∠A = 60°.

तब से AC = AB,

∠B = ∠C (एक त्रिभुज की समान भुजाओं के सम्मुख कोण)

In ΔABC,

∠A + ∠B + ∠C = 180° (त्रिभुज के कोण योग गुण)

⇒ 60° + ∠C + ∠C = 180°

⇒ 60° + 2 ∠C = 180°

⇒ 2 ∠C = 180° − 60° = 120°

⇒ ∠C = 60°

∴ ∠B = ∠C = 60°

हमारे पास है, ∠A = ∠B = ∠C = 60° ... (1)

⇒ ∠A = ∠B तथा ∠A = ∠C

⇒ BC = AC तथा BC = AB (त्रिभुज के समान कोणों की सम्मुख भुजाएँ)

⇒ AB = BC = AC = 5 cm ... (2)

समीकरण (1) और (2) से, ΔABC एक समबाहु त्रिभुज है।