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प्रश्न
बिंदुओं A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4) और D(5, -1) से एक आयत ABCD बनता है। P, Q, R और S क्रमशः भुजाओं AB, BC, CD और DA के मध्य-बिंदु हैं। क्या चतुर्भुज PQRS एक वर्ग है? क्या यह एक आयत है? क्या यह एक समचतुर्भुज है? सकारण उत्तर दीजिए।
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उत्तर
चूँकि P, A(-1, -1) और B(-1, 4) से बने रेखाखण्ड AB का मध्य-बिन्दु है।
⇒ `x_P = (-1 - 1)/2 = -1`
एवं `y_P = (-1 + 4)/2 = 3/2`
⇒ P `(-1, 3/2)` है।
चूँकि Q, B(-1, 4) और C(5, 4) से बने रेखाखण्ड BC का मध्य-बिन्दु है।
⇒ `x_Q = (-1 + 5)/2 = 4/2 = 2`
एवं `y_Q = (4 + 4)/2 = 8/2 = 4`
⇒ Q(2, 4) है।
चूँकि R, C(5, 4) और D(5, -1) से बने रेखाखण्ड CD का मध्य-बिन्दु है।
⇒ `x_R = (5 + 5)/2 = 5`
एवं `y_R = (4 - 1)/2 = 3/2`
⇒ `R(5, 3/2)` है।
चूँकि S, D(5, -1) और A(-1, -1) से बने रेखाखण्ड DA का मध्य-बिन्दु है।
⇒ `x_s = (5 - 1)/2 = 4/2 = 2`
एवं `y_s = (-1 - 1)/2 = -1`
⇒ S(2, -1) है।
अब
PQ = `sqrt((2 + 1)^2 + (4 - 3/2)^2)`
= `sqrt((3)^2 + (5/2)^2)`
= `sqrt(9 + 25/4)`
= `sqrt(61/4)` .................(1)
QR = `sqrt((5 - 2)^2 + (3/2 - 4)^2)`
= `sqrt((3)^2 + (-5/2)^2) = sqrt(9 + 25/4) = sqrt61/4` ...........(2)
RS = `sqrt((2 - 5)^2 + (-1 - 3/2)^2) = sqrt((-3)^2 + (-5/2)^2)`
= `sqrt(9 + 25/4) = sqrt(61/4)` ...............(3)
SP = `sqrt((-1 - 2)^2 + (3/2 + 1)^2) = sqrt((-3)^2 + (5/2)^2)`
= `sqrt(9 + 25/4) = sqrt(61/4)` .................(4)
PR = `sqrt((5 + 1)^2 + (3/2 - 3/2)^2) = sqrt((6)^2 + (0)^2)`
= `sqrt(36 + 0) = sqrt(36) = 6` ..................(5)
एवं QS = `sqrt((2 - 2)^2 + (-1 - 4)^2) = sqrt(0^2 + (-5)^2)`
= `sqrt(0 + 25) = sqrt25 = 5` ............(6)
⇒ PQ = QR = RS = SP = `1/2sqrt61`
लेकिन विकर्ण PR ≠ QS अर्थात् 6 ≠ 5
अतः अभीष्ट ₹PQRS एक समचतुर्भुज है।
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(8, 1), (k, -4), (2, -5)
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