Question

A(7, 1), B(3, 5) आणि C(2, 0) शिरोबिंदू असलेल्या त्रिकोणाच्या परिवर्तुळाच्या केंद्राचे निर्देशक आणि परिवर्तुळाची त्रिज्या काढा.

Answer 1

समजा, O(h, k) हा ΔABC च्या परिवर्तुळाचा केंद्र आहे.

OA = OC .......[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ `sqrt((h - 7)^2 + (k - 1)^2) = sqrt((h - 2)^2 + (k - 0)^2)` ....[अंतराच्या सूत्रानुसार]

∴ (h - 7)² + (k - 1)² = (h - 2)² + (k - 0)² ......[दोन्ही बाजूंचे वर्ग करून]

∴ h² - 14h + 49 + k² - 2k + 1 = h² - 4h + 4 + k² 

∴ 10h + 2k = 46

∴ 5h + k = 23 .....(i) [दोन्ही बाजूंना 2 ने भागून]

OB = OC .....[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]

∴ `sqrt((h - 3)^2 + (k - 5)^2) = sqrt((h - 2)^2 + (k - 0)^2)` ....[अंतराच्या सूत्रानुसार]

∴ (h - 3)² + (k - 5)² = (h - 2)² + (k - 0)² .....[दोन्ही बाजूंचे वर्ग करून]

∴ h² - 6h + 9 + k² - 10k + 25 = h² - 4h + 4 + k²

∴ 2h + 10k = 30

∴ h + 5k = 15 .....(ii) [दोन्ही बाजूंना 2 ने भागून]

समीकरण (i) ला 5 ने गुणून,

25h + 5k = 115 …(iii)

समीकरण (iii) मधून (ii) वजा करून,

25h + 5k = 115
    h + 5k = 15
     -     -      - 
24h       = 100 

∴ h = `100/24 = 25/6`

h ची किंमत समीकरण (i) मध्ये ठेवून,

5h + k = 23

∴ `5(25/6) + k = 23`

∴ k = 23 - `125/6 = (138 - 125)/6`

∴ k = `13/6`

∴ O(h, k) = `(25/6, 13/6)`

अंतराच्या सूत्रानुसार,

त्रिज्या = d(O, C) = `sqrt((25/6 - 2)^2 + (13/6 - 0)^2)`

= `sqrt(((25 - 12)/6)^2 + (13/6)^2)`

= `sqrt((13/6)^2 + (13/6)^2)`

= `sqrt(2(13/6)^2)`

= `(13sqrt(2))/6` एकक

∴ त्रिकोणाच्या परिवर्तुळाच्या केंद्राचे निर्देशक `(25/6, 13/6)` आहे व त्याची त्रिज्या `(13sqrt(2))/6` एकक आहे.