Theorems and Laws [17]
वरील आकृतीत, C केंद्र असलेल्या वर्तुळाला A या बाह्यबिंदूतून AB आणि AD हे स्पर्शिकाखंड काढले आहेत. तर सिद्ध करा:
∠A = `1/2` [m(कंस BYD) - m(कंस BXD)]
पक्ष: C केंद्र असलेल्या वर्तुळाला A या बाह्यबिंदूतून AB आणि AD हे स्पर्शिकाखंड काढले आहेत.
साध्य: ∠A = `1/2` [m(कंस BYD) - m(कंस BXD)]
सिदूधता:
ABCD मध्ये,
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360° ...[चौकोनाच्या कोनांची बेरीज 360° असते.]
∴ ∠A + 90° + ∠C + 90° = 360° ...[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∴ ∠A + ∠C = 360° - 90° - 90°
∴ ∠A + ∠C = 180° ...(i)
लक्षात घ्या, m(कंस BXD) = ∠C ...(ii)[लघुकंसाची व्याख्या]
∴ ∠A + m(कंस BXD) = 180° ..[(i) व (ii) वरून]
∴ ∠A = 180° - m(कंस BXD) ...(iii)
तसेच, m(कंस BXD) + m(कंस BYD) = 360° ...[वर्तुळाचे माप 360° असते.]
∴ `(m("कंस BXD"))/2 + (m("कंस BYD"))/2` = 180° ...(iv) [दोन्ही बाजूंना 2 ने भागून]
∴ ∠A = `(m("कंस BXD"))/2 + (m("कंस BYD"))/2` - m(कंस BXD) ...[(iii) व (iv) वरून]
∴ ∠A = `1/2` [m(कंस BYD) - m(कंस BXD)] हे सिद्ध होते.
खालील प्रमेय सिद्ध करा:
वर्तुळाच्या बाह्यभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात.
पक्ष: A हे वर्तुळाचे केंद्र आहे. बाह्य बिंदू D मधून जाणारे स्पर्शिका P आणि Q या बिंदूंवर वर्तुळाला स्पर्श करतात.
साध्य: रेख DP ≅ रेख DQ
रचना: रेख AP आणि रेख AQ काढा.
सिद्धता: ΔPAD आणि ΔQAD मध्ये,
रेख PA ≅ रेख QA ...[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
रेख AD ≅ रेख AD ...[सामाईक भुजा]
∠APD = ∠AQD = 90° ...[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∴ ΔPAD ≅ ΔQAD ...[कर्णभुजा कसोटी]
∴ रेख DP ≅ रेख DQ ...[एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू]
आकृतीत रेख RM आणि रेख RN हे केंद्र O असलेल्या वर्तुळाचे स्पर्शिका खंड आहेत, तर रेख OR हा ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांचा दुभाजक आहे, हे सिद्ध करण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
सिद्धता:
ΔRMO आणि ΔRNO यांमध्ये,
∠RMO ≅ ∠RNO = 90° ...............[`square`]
कर्ण OR ≅ कर्ण OR …..............[`square`]
बाजू OM ≅ बाजू [`square`] ..........…[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ ΔRMO ≅ ΔRNO ….......[`square`]
∠MOR ≅ ∠NOR
तसेच, ∠MRO ≅ [`square`] ......................[`square`]
∴ रेख OR ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांची दुभाजक आहे.
ΔRMO आणि ΔRNO यांमध्ये,
∠RMO ≅ ∠RNO = 90° ...............[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
कर्ण OR ≅ कर्ण OR …..............[सामाईक बाजू]
बाजू OM ≅ बाजू ON ..........…[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ ΔRMO ≅ ΔRNO ….......[कर्णभुजा कसोटी]
∠MOR ≅ ∠NOR
तसेच, ∠MRO ≅ ∠NRO ......................[एकरूप त्रिकोणांचे संगत कोन]
∴ रेख OR ∠MRN आणि ∠MON या दोन्ही कोनांची दुभाजक आहे.
पक्ष: काटकोन ΔABC मध्ये एक वर्तुळ अंतर्लिखित केलेले आहे, ∠ACB = 90°. वर्तुळाची त्रिज्या r आहे.
साध्य: 2r = a + b – c
सोबतच्या आकृतीत,
`{:("AF" = "AE"),("FB" = "BD"),("EC" = "DC"):}}` .....(i) [स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय]
`square`ODCE मध्ये,
∠ECD = 90° ....…[∵ ∠ACB = 90°, A – E – C, B – D – C]
`{:(∠"ODC" = 90^circ),(∠"OEC" = 90^circ):}}` ......[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
∴ ∠EOD = 90° .............[`square`ODCE चा उर्वरित कोन]
∴ `square`ODCE हा आयत आहे.
तसेच, OE = OD = r ........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∴ `square`ODCE हा चौरस आहे. ….....[जर आयताच्या संलग्न बाजू समान असतील, तर तो चौरस असतो.]
∴ OE = OD = CD = CE = r .....(ii) [चौरसाच्या बाजू]
आता, उजवी बाजू = a + b – c
= BC + AC – AB
= (BD + DC) + (AE + EC) – (AF + FB) …[B–D–C, A–E–C, A–F–B]
= (FB + r) + (AF + r) – (AF + FB)… [(i) व (ii) वरून]
= FB + r + AF + r – AF – FB
= 2r
= डावी बाजू
∴ 2r = a + b – c
दोन असमान (भिन्न) त्रिज्यांच्या वर्तुळांमध्ये जर AB आणि CD त्यांच्या सामाईक स्पर्शिका असतील, तर रेख AB ≅ रेख CD दाखवा.
पक्ष: AB आणि CD ह्या दोन्ही वर्तुळांच्या सामाईक स्पर्शिका आहेत.
साध्य: रेख AB ≅ रेख CD
रचना: रेख AB आणि रेख CD अशा वाढवा, की त्या बिंदू E, वर परस्परांना छेदतील, तसेच A – B – E, C – D – E.
सिद्धता:
आकृतीमध्ये,
`{:("AE" = "CE"),("BE" = "DE"):}}` ......(i) [स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय]
आता, AE = CE
∴ AB + BE = CD + DE …[A – B – E, C – D – E]
∴ AB + DE = CD + DE …[(i) वरून]
∴ AB = CD
∴ रेख AB ≅ रेख CD
आकृतीमध्ये, बिंदू O वर्तुळकेंद्र आणि रेख AB व रेख AC हे सपर्शिकाखंड आहेत. जर वर्तुळाची त्रिज्या r असेल आणि l(AB) = r असेल, तर `square`ABOC हा चौरस होतो हे दाखवण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
सिद्धता:
रेख OB आणि OC काढा.
l(AB) = r ..........…[पक्ष] (i)
AB = AC ..............`square` (ii)
परंतु, OB = OC = r .............`square` (iii)
∴ (i), (ii) व (iii) वरून
AB = `square` = OB = OC = r
∴ `square`ABOC हा `square` चौकोन आहे.
तसेच, ∠OBA = `square` .........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
एक कोन काटकोन असणारा `square` चौकोन चौरस होतो.
∴ `square`ABOC हा चौरस आहे.
रेख OB आणि OC काढा.
l(AB) = r ..........…[पक्ष] (i)
AB = AC ..............[स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय] (ii)
परंतु, OB = OC = r .............[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या] (iii)
∴ (i), (ii) व (iii) वरून
AB = AC = OB = OC = r
∴ `square`ABOC हा समभुज चौकोन आहे.
तसेच, ∠OBA = 90° .........[स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेय]
एक कोन काटकोन असणारा समभुज चौकोन चौरस होतो.
∴ `square`ABOC हा चौरस आहे.
वरील आकृतिमध्ये दाखविल्याप्रमाणे, ΔABC च्या बाजू BC वरील P बिंदूत एक वर्तुळ बाहेरून स्पर्श करते. वाढवलेल्या रेषा AC व रेषा AB, त्या वर्तुळाला अनुक्रमे बिंदू N व बिंदू M मध्ये स्पर्श करतात. तर सिद्ध करा: AM = `1/2`(ΔABC ची परिमिती)
पक्ष: रेख AN व रेख AM हे वर्तुळाचे स्पर्शिकाखंड आहे.
साध्य: AM = `1/2`(ΔABC ची परिमिती)
सिद्धता:
1. रेख AN व रेख AM हे वर्तुळाचे स्पर्शिकाखंड आहे. ...[पक्ष]
2. वर्तुळाच्या बाह्यबिंदूतून वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात. ...[स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय]
3. AN = AM
4. CP = CN
5. BP = BM
6. ΔABC ची परिमिती = AB + AC + BC
= AB + AC + BP + CP
= AB + AC + BM + CN ...[(4) आणि (5) वरून]
= AB + BM + AC + CN
= AM + AN
7. ΔABC ची परिमिती = AM + AM ...[विधान (3) वरून]
8. ΔABC ची परिमिती = 2AM
∴ AM = `1/2` × (ΔABC ची परिमिती)
आकृती मध्ये, जीवा AB ≅ जीवा CD, तर सिद्ध करा - कंस AC ≅ कंस BD
जीवा AB ≅ जीवा CD ....[पक्ष]
∴ कंस AB ≅ कंस CD ....[एकाच वर्तुळाच्या एकरूप जीवांचे संगत कंस एकरूप असतात.]
∴ m(कंस AB) = m(कंस CD)
∴ m(कंस AC) + m(कंस BC) = m(कंस BC) + m(कंस BD) .....[कंसांच्या मापांच्या बेरजेचा गुणधर्म]
∴ m(कंस AC) = m(कंस BD)
∴ कंस AC ≅ कंस BD
एकाच वर्तुळाच्या एकरूप कंसांच्या संगत जीवा एकरूप असतात हे प्रमेय रिकाम्या जागा भरून पूर्ण करा.
पक्ष : केंद्र B असलेल्या वर्तुळात कंस APC ≅ कंस DQE
साध्य : जीवा AC ≅ जीवा DE
सिद्धता : ΔABC आणि ΔDBE यांमध्ये,
बाजू AB ≅ बाजू DB ….........`square`
बाजू BC ≅ बाजू `square` ........`square`
∠ABC ≅ ∠DBE ...............[एकरूप कंसांची व्याख्या]
ΔABC ≅ ΔDBE .......................`square`
जीवा AC ≅ जीवा DE ..........[एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू]
सिद्धता :
ΔABC आणि ΔDBE यांमध्ये,
बाजू AB ≅ बाजू DB ….........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
बाजू BC ≅ बाजू BE ........[एकाच वर्तुळाच्या त्रिज्या]
∠ABC ≅ ∠DBE ...............[एकरूप कंसांची व्याख्या]
ΔABC ≅ ΔDBE .......................[एकरूपतेची बाकोबा कसोटी]
जीवा AC ≅ जीवा DE ..........[एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू]
वर्तुळाच्या जीवा AB आणि CD परस्परांना त्याच वर्तुळाच्या अंतर्भागातील बिंदू M मध्ये छेदतात, तर CM × BD = BM × AC हे सिद्ध करा.
पक्ष: जीवा AB आणि CD परस्परांना बिंदू M मध्ये छेदतात.
साध्य: CM × BD = BM × AC
सिद्धता:
ΔAMC आणि ΔDMB मध्ये,
∠AMC ≅ ∠DMB ............[विरुद्ध कोन]
∠ACD ≅ ∠ABD ........[एकाच कंसातील अंतर्लिखित कोन]
∴ ΔAMC ∼ ∠ABD ..........[समरूपतेची कोको कसोटी]
∴ `"CM"/"BM" = "AC"/"BD"` ...........[समरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू]
∴ CM × BD = BM × AC
आकृतीमध्ये, ΔABC हा समभुज त्रिकोण आहे. ∠B चा कोनदुभाजक ΔABC च्या परिवर्तुळाला बिंदू P मध्ये छेदत असेल, तर सिद्ध करा: CQ = CA.
ΔABC हा समभुज त्रिकोण आहे.
∴ ∠ABC = ∠ACB = ∠BAC = 60° .....(i) [समभुज त्रिकोणाचे कोन]
∠CBP = `1/2`∠ABC ........[किरण BP ∠B ला दुभागतो.]
∴ ∠CBP = `1/2 xx 60^circ` ....[(i) वरून]
∴ ∠CBP = 30°
∠CBP = ∠CAP = 30° ..........…[एकाच कंसात अंतर्लिखित केलेले कोन]
∴ ∠CAQ = 30° …(ii) [A - P - Q]
ΔABC मध्ये,
∠BAQ = ∠BAC + ∠CAQ ........[कोनांच्या बेरजेचा गुणधर्म]
∴ ∠BAQ = 60° + 30° .......[(i) व (ii) वरून]
∴ ∠BAQ = 90°
तसेच, ∠ABQ = 60° .......[(i) व B - C - Q वरून]
∴ ∠BQA = 30° ...[ΔABQ चा उर्वरित कोन]
∴ ∠CQA = 30° .....(iii) [B - C - Q]
ΔCQA मध्ये,
∠CAQ = ∠CQA ......[(ii) व (iii) वरून]
∴ CQ = CA ...........[समद्विभुज त्रिकोणाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास]
खालील प्रमेय सिद्ध करा:
एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले सर्व कोन एकरूप असतात.
कंस PTR हा ∠PQR ने अंतर्खंडित केला आहे.
कंस PTR हा ∠PSR ने अंतर्खंडित केला आहे.
∠PQR = `1/2`m(कंस PTR) आणि ......(i) [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
∠PSR = `1/2`m(कंस PTR) ...............(ii) [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
∴ ∠PQR ≅ ∠PSR ............[(i) व (ii) वरून]
खालील आकृतीमध्ये, P केंद्र असलेले वर्तुळ ΔABC मध्ये अंतर्लिखित असून बाजू AB, बाजू BC व बाजू AC ला अनुक्रमे L, M व N बिंदूत स्पर्श करते. या वर्तुळाची त्रिज्या r आहे. सिद्ध करा, की : A(ΔABC) = `1/2`(AB + BC + AC) × r
पक्ष: बाजू AB, बाजू BC व बाजू AC वर्तुळाला अनुक्रमे L, M व N बिंदूत स्पर्श करतात. त्रिज्या = r
साध्य: A(ΔABC) = `1/2`(AB + BC + AC) × r
रचना: रेख PM, रेख PN, रेख PL, रेख AP, रेख BP आणि रेख CP जोडा.
सिद्धता:
बाजू BC वर्तुळाला M बिंदूत स्पर्श करते.
∴ रेख PM ⊥ रेख BC ...........[स्पर्शिका त्रिज्येला लंब असते.]
∴ A(ΔBPC) = `1/2 xx "BC" xx "PM"`
∴ A(ΔBPC) = `1/2 xx "BC" xx "r"` ..........(i) [∵ PM = त्रिज्या = r]
त्याचप्रमाणे,
A(ΔAPB) = `1/2 xx "AB" xx "r"` ......(ii)
A(ΔAPC) = `1/2 xx "AC" xx "r"` ......(iii)
आता,
A(ΔABC) = A(ΔAPB) + A(ΔBPC) + A (ΔAPC) ............[कंसांच्या मापांच्या बेरजेचा गुणधर्म]
= `1/2 xx "AB" xx "r" + 1/2 xx "BC" xx "r" + 1/2 xx "AC" xx "r"` ...........[(i), (ii) व (iii) वरून]
= `1/2`r (AB + BC + AC)
∴ A(ΔABC) = `1/2`(AB + BC + AC) × r
चक्रीय चौकोनाचा बाह्यकोन त्याच्या संलग्न कोनाच्या संमुख कोनाशी एकरूप असतो हे प्रमेय सिद्ध करण्यासाठी पुढील कृती पूर्ण करा.
पक्ष: `square` ABCD चक्रीय चाकोन आहे.
`square` `square` ABCD चा बाह्यकोन आहे.
साध्य: ∠DCE ≅ ∠BAD
सिद्धता:
`square` + BCD = `square` ..........[रेषीय जोडीतील कोन] (i)
`square` ABCD चक्रीय चाकोन आहे.
`square` + ∠BAD = `square` ........[चक्रीय चौकोनाचे प्रमेय] (ii)
∴ (i) व (ii) वरून
∠DCE ≅ ∠BCD = `square` + ∠BAD
∠DCE ≅ ∠BAD
पक्ष: `square` ABCD चक्रीय चाकोन आहे.
∠DCE `square`ABCD चा बाह्यकोन आहे.
साध्य: ∠DCE ≅ ∠BAD
सिद्धता:
∠DCE + BCD = 180° ..........[रेषीय जोडीतील कोन] (i)
`square` ABCD चक्रीय चाकोन आहे.
∠BCD + ∠BAD = 180° ........[चक्रीय चौकोनाचे प्रमेय] (ii)
∴ (i) व (ii) वरून
∠DCE ≅ ∠BCD = ∠BCD + ∠BAD
∠DCE ≅ ∠BAD
खालील प्रमेय सिद्ध करा:
चक्रीय चाकौनाचे संमुख कोन परस्परांचे पूरककोन असतात.
∠ADC हा अंतर्लिखित कोन असून त्याने कंस ABC अंतर्खंडित केला आहे.
∴ ∠ADC = `1/2`m(कंस ABC) .....(i) [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
तसेच, ∠ABC हा अंतर्लिखित कोन असून त्याने कंस ADC अंतर्खंडित केला आहे.
∴ ∠ABC = `1/2`m(कंस ADC) ..........(ii) [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
∴ ∠ADC + ∠ABC = `1/2`m(कंस ABC) + `1/2`m(कंस ADC) .....[(i) व (ii) ची बेरीज करून]
∴ ∠D + ∠B = = `1/2`m(कंस ABC) + `1/2`m(कंस ADC)
∴ ∠B + ∠D = `1/2 xx 360^circ` ....[कंस ABC व कंस ADC मिळून पूर्ण वर्तुळ होते.]
= 180°
∴ ∠B + ∠D = 180°
त्याचप्रमाणे, ∠A + ∠C = 180° हे सिद्ध करता येईल.
सिद्ध करा 'चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन परस्परांचे पूरककोन असतात.'
पक्ष: `square`ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे.
साध्य: ∠B + ∠D = 180°, ∠A + ∠C = 180°
सिद्धता:
∠ADC हा अंतर्लिखित कोन असून त्याने कंस ABC अंतर्खंडित केला आहे.
∴ ∠ADC = `1/2` m(कंस ABC) ...(i) [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
तसेच, ∠ABC हा अंतर्लिखित कोन असून त्याने कंस ADC अंतर्खंडित केला आहे.
∴ ∠ABC = `1/2` m(कंस ADC) ...(ii) [अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय]
∴ ∠ADC + ∠ABC
= `1/2` m(कंस ABC) + `1/2` m(कंस ADC) ...[(i) व (ii) यांची बेरीज करून]
= `1/2` [m(कंस ABC) + m(कंस ADC)]
= `1/2 xx 360^circ` ...[कंस ABC व कंस ADC मिळून पूर्ण वर्तुळ होते.]
= 180°
त्याचप्रमाणे, ∠A + ∠C = 180° हे सिद्ध करता येईल.
कोणताही आयत हा चक्रीय चौकोन असतो हे सिद्ध करा.
पक्ष: `square`ABCD हा आयत आहे.
साध्य: `square`ABCD हा चक्रीय चौकोन आहे.
सिद्धता:
`square`ABCD हा आयत आहे. ......[पक्ष]
∴ ∠A = ∠B = ∠C = ∠D = 90° .....[आयताचे कोन]
आता, ∠A + ∠C = 90° + 90°
∴ ∠A + ∠C = 180°
∴ `square`ABCD चक्रीय चौकोन आहे. .....[चक्रीय चौकोनाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास]
Important Questions [21]
- O केंद्र असलेल्या वर्तुळाची AB जीवा आहे. AOC वर्तुळाचा व्यास आहे. स्पर्शिका AT वर्तुळाला बिंदू A मध्ये स्पर्श करते. खालील प्रश्नांची उत्तरे लिहा: वरील दिलेल्या माहितीवरून आकृती काढा.
- एका वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी आहे. तर त्या वर्तुळातील सर्वात मोठया जीवेची लांबी किती?
- दिलेल्या आकृतीत, केंद्र D असलेले वर्तुळ ∠ACB च्या बाजूंना बिंदू A आणि B मध्ये स्पर्श करते. जर ∠ACB = 52°, तर ∠ADB चे माप काढा.
- सिद्ध करा की, वर्तुळाच्या बाह्मभागातील बिंदूपासून त्या वर्तुळाला काढलेले स्पर्शिकाखंड एकरूप असतात.
- वरील आकृतीत, C केंद्र असलेल्या वर्तुळाला A या बाह्यबिंदूतून AB आणि AD हे स्पर्शिकाखंड काढले आहेत. तर सिद्ध करा: ∠A = 12 [m(कंस BYD) - m(कंस BXD)]
- 'O' केंद्र असलेल्या वर्तुळाला P या बाह्यबिंदूतून AP ही A बिंदूपाशी स्पर्शिका काढली आहे. जर OP = 12 सेमी व ∠OPA = 30°, तर वर्तुळाची त्रिज्या ______ असेल.
- बिंदू O केंद्र घेऊन 3 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा. या वर्तुळास P या बाह्यबिंदूतून रेख PA व रेख PB हे स्पर्शिकाखंड असे काढा की ∠APB 70°.
- वरील आकृतिमध्ये दाखविल्याप्रमाणे ΔABC च्या बाजू BC वरील P बिंदूत एक वर्तुळ बाहेरून स्पर्श करते. वाढवलेल्या रेषा AC व रेषा AB, त्या वर्तुळाला अनुक्रमे बिंदू N व बिंदू M मध्ये स्पर्श करतात. तर सिद्ध करा
- आकृतीमध्ये, m(कंस NS) = 125°, m(कंस EF) = 37°, तर ∠NMS चे माप काढा.
- आकृती मध्ये, केंद्र C असलेल्या वर्तुळावर G, D, E आणि F हे बिंदू आहेत. ∠ECF चे माप 70° आणि कंस DGF चे माप 200° असेल, तर कंस DE आणि कंस DEF यांची मापे ठरवा.
- 'O' केंद्र असलेल्या वर्तुळाच्या जीवा AB व जीवा CD एकरूप आहेत. जर M(कंस AB) = 120°, तर M(कंस CD) काढा.
- वरील आकृतीत जीवा PQ आणि जीवा RS एकमेकींना बिंदू T मध्ये छेदतात. जर ∠STQ = 58° आणि ∠PSR = 24°, तर ∠STQ = 12 [m(कंस PR) + m(कंस SQ)] या विधानाचा पडताळा घेण्यासाठी खालील कृती पूर्ण करा.
- खालील प्रमेय सिद्ध करा: एकाच कंसात अंतर्लिखित झालेले सर्व कोन एकरूप असतात.
- वरील आकृतीत ∠L = 35° असेल, तर m(कंस MN) = किती? m(कंस MLN) = किती?
- सिद्ध करा 'चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन परस्परांचे पूरककोन असतात.'
- जर sinθ = cosθ, तर θ चे माप किती?
- एका वर्तुळाच्या जीवा AB आणि जीवा CD परस्परांना वर्तुळाच्या अंतर्भागात बिंदू E मध्ये छेदतात. जर AE = 4, EB = 10, CE = 8, तर ED = किती?
- 3 सेमी त्रिज्या असलेल्या वर्तुळातील सर्वांत मोठ्या जीवेची लांबी किती?
- पक्ष: केंद्र P असलेल्या वर्तुळाच्या जीवा AB आणि जीवा CD वर्तुळाच्या अंतर्भागात बिंदू E मध्ये छेदतात. साध्य: AE × EB = CE × ED रचना: रेख AC आणि रेख BD काढले. रिकाम्या जागा भरून
- वरील आकृतीत, m(कंस DXE) = 105°, m(कंस AYC) = 47°, तर ∠DBE चे माप काढा.
- वरील आकृतीमध्ये, ∠ABC हा कंस ABC मधील आंतरलिखित कोन आहे. जर ∠ABC = 60°, तर m∠AOC काढा.
Concepts [24]
- वर्तुळाची संकल्पना
- एका, दोन, तीन बिंदूंतून जाणारी वर्तुळे
- वृत्तछेदिका आणि स्पर्शिका
- स्पर्शिका - त्रिज्या प्रमेय
- स्पर्शिका-त्रिज्या प्रमेयाचा व्यत्यास
- स्पर्शिकाखंडाचे प्रमेय
- स्पर्श वर्तुळे
- स्पर्शवर्तुळांचे प्रमेय
- वर्तुळ कंस
- कंसांची एकरूपता
- कंसांच्या मापांच्या बेरजेचा गुणधर्म
- अंतर्लिखित कोन
- अंतर्खंडित कंस
- अंतर्लिखित कोनाचे प्रमेय
- अंतर्लिखित कोनाच्या प्रमेयाची उपप्रमेये
- चक्रीय चौकोन
- चक्रीय चौकोनाचे प्रमेय
- चक्रीय चौकोनाच्या प्रमेयाचे उपप्रमेय
- चक्रीय चौकोनाच्या प्रमेयाचा व्यत्यास
- स्पर्शिका-छेदिका कोनाचे प्रमेय
- स्पर्शिका-छेदिका कोनांच्या प्रमेयाचा व्यत्यास
- जीवांच्या अंतर्छेदनाचे प्रमेय
- जीवांच्या बाह्यछेदनाचे प्रमेय
- स्पर्शिका छेदिका रेषाखंडांचे प्रमेय
