Question

यह ज्ञात है कि वायु का घनत्व ρ ऊँचाई y (मीटरों में) के साथ इस संबंध के अनुसार घटता है:
ρ = ρ₀e^-y/y₀
यहाँ समुद्र तल पर वायु का घनत्व ρ₀ = 1.25 kg m^-3 तथा y₀ एक नियतांक है। घनत्व में इस परिवर्तन को वायुमंडल का नियम कहते हैं। यह संकल्पना करते हुए कि वायुमण्डल का ताप नियत रहता है (समतापी अवस्था) इस नियम को प्राप्त कीजिए। यह भी मानिए कि g का मान नियत रहता है।

Answer 1

समुद्र तल से ऊँचाई पर वायु के एक काल्पनिक बेलन पर विचार कीजिए जिसका अनुप्रस्थ क्षेत्रफल A है। माना बेलन की ऊँचाई dy है। बेलन के निचले तथा ऊपर वाले सिरों पर वायु दाब क्रमशः P तथा P + dP हैं।

माना इस स्थान पर वायु का घनत्व ρ है। 

तब बेलन का भार = द्रव्यमान × g

= A × dy × ρ × g

द्रव के बेलन के निचे वाले तथा ऊपर वाले सिरों पर ऊर्ध्वाधर बल क्रमशः PA तथा (P + dP) A है।

∴ बेलन संतुलन की स्थिति में है ; अतः अधोमुखी तथा ऊपरिमुखी बल बराबर होंगे।

∴ PA = Adyρg + (P + dP)A

⇒ -A dP = Aρgdy

या - dP = ρgdy               ...(1)

∵ वातावरण का ताप स्थिर है ; अतः समतापी पराक्रम हेतु 

PV = नियतांक   या `"P""m"/rho = "K"_1  [∵ "V" = "m"/rho]`

`=> "P"/rho = "K"`         ...[जहाँ K = K₁/m]

या P = Kρ     ∴ dP = K dρ

dP का मान समीकरण (1) में रखने पर,

-K dρ = ρgdy    या `- ("d"rho)/rho  = "g"/"K" "dy"`

समाकलन करने पर, `-  "log"  rho = "g"/"K""y" + "C"`               ...(2)

जहाँ C समाकल स्थिरांक है।

परन्तु समुद्र तल पर y = 0 तथा  ρ = ρ₀    (दिया है)

∴ ` - "log"  rho_0 = "g"/"K" * 0 + "C" => "C" = - "log"  rho_0`

समीकरण (2) में C का मान रखने पर,

`"log"  rho - "log" rho_0 = - "g"/"K" "y"`

या  `"log"(rho/rho_0) = "y"/("K"//"g")`

`"K"/"g" = "y"_0` रखने पर,

`"log"(rho/rho_0) = - "y"/"y"_0  => rho/rho_0 = "e"^(-"y"//"y"_0)`

`rho = rho_0"e"^(-"y"//"y"_0)`