Question

यह दर्शाइए कि रैखिक सरल आवर्त गति करते किसी कण के लिए दोलन की किसी अवधि की औसत गतिज ऊर्जा उसी अवधि की औसत स्थितिज ऊर्जा के समान होती है।

Answer 1

माना m द्रव्यमान का कोई कण ω कोणीय आवृत्ति से सरल आवर्त गति कर रहा है जिसका आयाम α है।

माना गति अधिकतम विस्थापन की स्थिति से प्रारंभ होती है तब t समय में कण का विस्थापन
x = α cos ωt          …(1)

इस क्षण कण की गतिज ऊर्जा।

`"K" = 1/2"mu"^2 = 1/2"m"ω^2(alpha^2 - x^2)`

= `1/2 "m"ω^2[alpha^2 - alpha^2cos^2ω"t"]`             ...[∵ x = α cosωt]

= `1/2 "m"ω^2alpha^2(1 - cos^2ω"t")`

= `1/2"m"ω^2alpha^2"sin"^2ω"t"`

तथा इस क्षण की स्थितिज ऊर्जा

`"U" = 1/2"m"ω^2x^2 = 1/2"m"ω^2(alpha^2"cos"^2ω"t")`

`= 1/2 "m"ω^2alpha^2"cos"^2ω"t"`

पुरे एक आवर्तकाल के लिए गतिज ऊर्जा का समय औसत

`overline("K") = (∫_0^"T" "K""d""t")/(int_0^"T" "d""t") = (int_0^"T"1/2"m"  ω^2  alpha^2  "sin"^2  ω  "t"  "dt")/"T"`

`= ("m"ω^2alpha^2)/(2"T")int_0^"T"1/2(1 - "cos" 2 ω"t")"dt"`

`= 1/(4"T")"m"ω^2alpha^2int_0^"T"[1 - "cos"((4pi)/"T""t")]"dt"`

`= 1/(4"T")"m"ω^2alpha^2["t" - "T"/(4pi) "sin" ((4pi)/"T""t")]_("t"= 0)^"T"`

`= 1/(4"T") "m"ω^2alpha^2[("T" - "T"/(4pi)"sin"4pi) - (0)]`

`= 1/(4"T")"m"ω^2alpha^2"T"`         [∵ sin 4 π = 0]

औसत गतिज ऊर्जा `overline"K" = 1/4"m"ω^2alpha^2`         ...(1)

पुरे एक आवर्तकाल हेतु स्थितिज ऊर्जा का समय औसत,

`overline("U") = (int_0^"T" "U""dt")/(int_0^"T" "dt") = (int_0^"T" 1/2"m"  ω^2  alpha^2  "cos"^2  ω  "t")/"T"`

`= 1/(2"T")"m"ω^2alpha^2int_0^"T"1/2(1 + "cos"2   ω  "t")"dt"`

`= 1/(4"T") "m"ω^2alpha^2["t" + "T"/4pi"sin"((4 pi " t")/"T")]_0^"T"                       ...[∵ ω = (2pi)/"T"]`

`= 1/(4"T")"m"ω^2alpha^2[("T" + "T"/(4pi)"sin"4pi)- (0)]`

औसत स्थितिज ऊर्जा `overline"U" = 1/4 "m"ω^2alpha^2`        ...(2)

इस प्रकार समीकरण (1) व (2) से,

औसत गतिज ऊर्जा = औसत स्थितिज ऊर्जा