Question

यदि z और w दो सम्मिश्र संख्याएँ इस प्रकार हैं कि |zw| = 1 और arg(z) − arg(w) = `π/2`, तो दर्शाइए कि `barz`w = –i

Answer 1

मानो z = |z| (cosθ₁ + isinθ₁) और w = |w| (cosθ₂ + isinθ₂)

मान लीजिये, |zw| = |z||w| = 1, और arg(z) - arg(w) = `pi/2`

arg(z) – arg(w) = `pi/2`

⇒ θ₁ – θ₂ = `pi/2`

`overline(zw) = |z|(costheta_1  - isintheta_1)|w|(costheta_2  - isintheta_2)`

= `|z||w|(cos(-theta_1) - isin(-theta_1))(cos(theta_2) + isin(theta_2))`

आगे सरलीकृत करें,

= `1[cos(theta_2 - theta_1) + isin(theta_2 - theta_1)]`

= `[cos(-pi/2) + isin(-pi/2)]`

= 1[0 – i]

= –i

इसलिए, यह सिद्ध होता है कि |zw| = –i