Question

यदि `(z - 1)/(z + 1)` एक शुद्धत: काल्पनिक संख्या है (z ≠ −1), तो |z| का मान ज्ञात कीजिए।

Answer 1

यह देखते हुए कि `(z - 1)/(z + 1)` विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या है।

मानो z = x + yi

∴ `(x + yi - 1)/(x + yi + 1) = ((x - 1) + iy)/((x + 1) + iy)`

= `((x - 1) + iy)/((x + 1) + iy) xx ((x + 1) - iy)/((x + 1) - iy)`

⇒ `((x - 1)(x + 1) - iy(x - 1) + (x + 1)iy - i^2y^2)/((x + 1)^2 - i^2y^2)`

⇒ `(x^2 - 1 + iy(x + 1 - x + 1) + y^2)/(x^2 + 1 + 2x + y^2) = (x^2 + y^2 - 1 + 2yi)/(x^2 + y^2 + 2x + 1)`

⇒ `(x^2 + y^2 - 1)/(x^2 + y^2 + 2x + 1) + (2y)/(x^2 + y^2 + 2x + 1)"i"`

चूंकि, संख्या विशुद्ध रूप से काल्पनिक है, तो वास्तविक भाग = 0.

∴ `(x^2 + y^2 - 1)/(x^2 + y^2 + 2x + 1)` = 0

⇒ x² + y² – 1 = 0

⇒ x² + y² = 1

⇒ `sqrt(x^2 + y^2)` = 1

∴ |z| = 1

यदि `(z - 1)/(z + 1)`विशुद्ध रूप से काल्पनिक है, (z ≠ 1) तब |z| मान 1 है।