Advertisements
Advertisements
Question
यदि y = `e^(acos^(-1)x)`, −1 ≤ x ≤ 1 है तो दर्शाइए कि `(1 - x^2) (d^2y)/dx^2 - x dy/dx - a^2 y = 0`।
Advertisements
Solution
हमारे पास है y = `e^(a cos^(-1)x)` ...(1)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन (1) करने पर,
`dy/dx = e^(a cos^(-1)x) d/dx (a cos^-1 x)`
`= e^(a cos^(-1)x) ((- a)/sqrt(1 - x^2))`
`= (- ay)/(sqrt(1 - x^2))` ...(2)
दोनों पक्षों का x के सापेक्ष अवकलन (2) करने पर x,
`(d^2y)/(dx^2) = -a[(sqrt(1-x^2) dy/dx - y d/dx sqrt(1 - x^2))/((1-x^2))]`
`(d^2y)/(dx^2) = -a[(sqrt(1-x^2)dy/dx - y/(2sqrt(1-x^2)) * (-2x))/((1-x^2))]`
`(1 - x^2) (d^2y)/dx^2 = -a[-ay + (xy)/sqrt(1-x^2)]` ....[समीकरण (2) से]
`(1 - x^2) (d^2y)/dx^2 = -a[-ay + x * ((-1)/a * dy/dx)]`
`(1 - x^2) (d^2y)/(dx^2) = a^2y + x dy/dx`
`(1 - x^2) (d^2y)/(dx^2) - x dy/dx - a^2y = 0`
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
फलन f(x) = x² + 2x – 8, x ∈ [-4, 2] के लिए रोले के प्रमेय को सत्यापित कीजिए।
यदि f : [-5, 5]→ R एक संतत फलन है और यदि f‘ (x) किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं होता है तो सिद्ध कीजिए कि f(- 5) `ne` f(5).
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अंतराल [a, b] में f(x) = x2 - 4x - 3, जहाँ a = 1 और b = 4 है।
माध्यमान प्रमेय सत्यापित कीजिए, यदि अन्तराल [a, b] में f(x) = x3 - 5x2 - 3x, जहाँ a = 1 और b = 3 है। f‘(c) = 0 के लिए c ∈ (1, 3) को ज्ञात कीजिए।
प्रश्न संख्या 2 में उपरोक्त दिए तीनों फलनों के लिए माध्यमान प्रमेय की अनुपयोगिता की जाँच कीजिए।
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलन में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरण से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
f(x) = [x] के लिए x ∈ [5, 9]
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलन में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरण से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
f(x) = [x] के लिए x ∈ [-2, 2]
जाँच कीजिए कि रोले का प्रमेय निम्नलिखित फलन में से किन-किन पर लागू होता है? इन उदाहरण से क्या आप रोले के प्रमेय के विलोम के बारे में कुछ कह सकते हैं?
f(x) = x2 - 1 के लिए x ∈ [1, 2]
