Question

यदि पृथ्वी का द्रव्यमान उसके द्रव्यमान से 4 गुना हो तो 35780 किलोमीटर की ऊँचाई वाली कक्षा में परिभ्रमण करने वाले उपग्रह को पृथ्वी की एक परिक्रमा करने के लिए कितना समय लगेगा?

Answer 1

दत्त:

उपग्रह की पृथ्वी से ऊँचाई = 35780 km

मान लीजिए पृथ्वी का प्रारंभिक द्रव्यमान M है। तब इसका नया द्रव्यमान 4 M होगा।

उपग्रह द्वारा पृथ्वी की कक्षा में परिक्रमा करने में लगने वाला समय (आवर्तकाल) इस प्रकार दिया गया है:

T = `(2piR)/(v_c)`

अब, कक्षीय वेग (v_c) को इस प्रकार दर्शाया जाता है:

`v_c = sqrt((GM)/(R + h))`

`T = (2pi(R + h))/(sqrt((GM)/(R + h))) = (2pi(R + h)sqrt(R + h))/(sqrt(GM))`   ...(i)

= `T propto 1/(sqrt(M))`   ...(ii)

इस प्रकार, समीकरण (ii) से हम देखते हैं कि जब पृथ्वी का द्रव्यमान 4 गुना हो जाता है, तो उपग्रह का परिक्रमण काल आधा हो जाना चाहिए।

T_4M = `T/2`   ...(iii)

h = 35780 km

M = 6 × 10²⁴ kg

R = 6.4 × 10⁵ m

G = 6.67 × 10^-11 N m²/kg²

T = 24 h

समीकरण (iii) का उपयोग करने पर हमें प्राप्त होता है:

T_4M = `24/2`

= 12h