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Question
यदि एक वृत्त की दो समान जीवाएँ वृत्त के अन्दर प्रतिच्छेद करें, तो सिद्ध कीजिए कि एक जीवा के खंड दूसरी जीवा के संगत खंडों के बराबर हैं।
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Solution
मान लीजिए PQ और RS किसी दिए गए वृत्त की दो बराबर जीवाएँ हैं और वे एक दूसरे को बिंदु T पर प्रतिच्छेद कर रहे हैं।
इन जीवाओं पर लंब OV और OU खींचिए।
ΔOVT और ΔOUT में,
OV = OU ...(एक वृत्त की बराबर जीवाएँ केन्द्र से समान दूरी पर होती है।)
∠OVT = ∠OUT ...(प्रत्येक 90°)
OT = OT ...(उभयनिष्ट)
∴ ΔOVT ≅ ΔOUT ...(RHS सर्वांगसमता नियम)
∴ VT = UT ...(CPCT से) ...(1)
दिया जाता है कि,
PQ = RS ...(2)
⇒ `1/2PQ` = `1/2RS`
⇒ PV = RU ...(3)
समीकरण (1) और (3) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं
PV + VT = RU + UT
⇒ PT = RT ...(4)
समीकरण (2) से समीकरण (4) घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं
PQ − PT = RS − RT
⇒ QT = ST ...(5)
समीकरण (4) और (5) संकेत करते हैं कि जीवा PQ और RS के संगत खंड एक-दूसरे के सर्वांगसम हैं।
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