Question

यदि A तथा G दो धनात्मक संख्याओं के बीच क्रमशः समांतर तथा गुणोत्तर माध्य हों, तो सिद्ध कीजिए कि संख्याएँ  `"A" ± sqrt(("A" + "G")("A" - "G"))` हैं।

Answer 1

यह दिया गया है कि A और G दो धनात्मक संख्याओं के बीच समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य हैं।

माना कि ये दो धनात्मक संख्याएँ a और b हैं।

∴ AM = A = `(a + b)/2`    ....(1)

GM = G = `sqrt(ab)`    ....(2)

(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

a + b = 2A    ... (3)

ab = G²    ... (4)

(3) और (4) से a और b के मान को (a + b)² = (a + b)² - 4ab में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं।

(a - b)² = 4A² - 4G² = 4 (A² - G²)

(a - b)² = 4(A + G) (A - G)

(a - b) = `2sqrt((A + G)(A - G))`     ....(5)

(3) और (5) से, हम प्राप्त करते हैं

2a = `2A + 2 sqrt((A + G)(A - G))`

a = `A + sqrt((A + G)(A - G))`

(3) में a का मान रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

a = `2A - A - sqrt((A + G)(A - G)) = A - sqrt((A + G)(A - G))`

इस प्रकार, दो संख्याएँ A ± `sqrt((A + G)(A - G))` हैं