Question

Without using trigonometric tables, find the value of the expression:

`{(sin^2 22^circ + sin^2 68^circ)/(cos^2 22^circ + cos^2 68^circ) + sin^2 63^circ + cos 63^circ sin 27^circ}`

Answer 1

Given: `{(sin^2 22^circ + sin^2 68^circ)/(cos^2 22^circ + cos^2 68^circ) + sin^2 63^circ + cos 63^circ sin 27^circ}`

Step-wise calculation:

1. Note sin² 68° = sin²(90° – 22°) = cos² 22°. 

Hence (sin² 22° + sin² 68°) = sin² 22° + cos² 22° = 1.

2. Also cos² 68° = cos²(90° – 22°) = sin² 22°.

So (cos² 22° + cos² 68°) = cos² 22° + sin² 22° = 1.

3. Therefore the fraction = `1/1` = 1.

4. For the remaining terms,

sin 27° = sin(90° – 63°) = cos 63°

So cos 63° · sin 27° = cos² 63°. 

Thus sin² 63° + cos 63° · sin 27°

= sin² 63° + cos^2 63°

= 1

⇒ 1 + 1 = 2.