Question

Using the properties of proportion, solve for x, given. `(x^4 + 1)/(2x^2) = (17)/(8)`.

Answer 1

`(x^4 + 1)/(2x^2) = (17)/(8)`
Using Componendo and Dividendo
`(x^2 + 1 + 2x^2)/(x^4 + 1 - 2x^2) = (17 + 8)/(17 - 8)`
⇒ `((x^2 + 1)^2)/((x^2 - 1)^2) = (25)/(9)`
⇒ `(x^2 + 1)/(x^2 - 1) = (5)/(3)  ...("taking square root on both the sides")`
Again applying Componendo and Dividendo
`(x^2 + 1 + x^2 - 1)/(x^2 + 1 - x^2 + 1) = (5 + 3)/(5 - 3)`
`(2x^2)/(2) = (8)/(2)`
⇒ x² - 4
⇒ x = ±2

Answer 2

`(x^4 + 1)/(2x^2) = (17)/(8)`

Apply componendo and dividendo:

⇒ `((x^4 + 1) + (2x^2))/((x^4 + 1) - (2x^2)) = (17 + 8)/(17 - 8)`

⇒ `(x^4 + 2x^2 + 1)/(x^4 - 2x^2 + 1) = 25/9`

⇒ `(x^2 + 1)^2/(x^2 - 1)^2 = 25/9`

Take the square root of both sides,

⇒ `sqrt((x^2 + 1)^2/(x^2 - 1)^2) = +-sqrt(25/9)`

⇒ `(x^2 + 1)/(x^2 - 1) = +-5/3`

Case 1:

⇒ `(x^2 + 1)/(x^2 - 1) = 5/3`

Apply Componendo and Dividendo again:

⇒ `((x^2 + 1) + (x^2 - 1))/((x^2 + 1) - (x^2 - 1)) = (5 + 3)/(5 - 3)`

⇒ `(2x^2)/2 = 8/2`

⇒ x² = 4

⇒ x = ±2

Case 2:

⇒ `(x^2 + 1)/(x^2 - 1) = -5/3`

Cross-multiply to solve:

⇒ 3(x² + 1) = −5(x² − 1)

⇒ 3x² + 3 = −5x² + 5

⇒ 8x² = 2

⇒ x² = `2/8`

⇒ x² = `1/4`

⇒ x = `+-1/2`