Question

Solve the following quadratic equation by factorisation method:
`(x + 3)/(x - 2) - (1 - x)/x = (17)/(4)`.

Answer 1

`(x + 3)/(x - 2) - (1 - x)/x = (17)/(4)`
⇒ `(x^2 + 3x - (x - 2) (1 - x))/(x(x- 2)) = (17)/(4)`
⇒ `(x^2 + 3x - (x - x^2 - 2 + 2x))/(x^2 - 2x) = (17)/(4)`
⇒ `(x^2 + 3x - (-x^2 + 3x - 2))/(x^2 - 2x) = (17)/(4)`
⇒ `(x^2 + 3x + x^2 - 3x + 2)/(x^2 - 2x) = (17)/(4)`
⇒ `(2x^2 + 2)/(x^2 - 2x) = (17)/(4)`
⇒ 17x² - 34x - 8x² + 8
⇒ 9x² - 34x - 8 = 0
⇒ 9x² - 36x + 2x - 8 = 0
⇒ 9x(x - 4) + 2(x - 4) = 0
⇒ (x - 4) (9x + 2) = 0
⇒ x - 4 = 0 or 9x + 2 = 0
⇒ x = 4 or x = `-(2)/(9)`.

Answer 2

`(x + 3)/(x - 2) - (1 - x)/x = (17)/(4)`

`(x+3)/(x-2) - (1-x)/x`

`(x+3)/(x-2) + (x-1)/x`

`((x+3)x + (x-1)(x-2))/(x(x+2))`

Expand both numerators:

(x + 3) x = x² + 3x

(x − 1) (x − 2) = x² − 3x + 2

x² + 3x + x² − 3x + 2 = 2x² + 2

`(2x^2+2)/(x(x-2))`

`(2x^2+2)/(x(x-2)) = 17/4`

4(2x² + 2) = 17x (x − 2)

Left: 8x² + 8

Right: 17x² − 34x

8x² + 8 = 17x² − 34x

8x² + 8 − 17x² + 34x = 0 ⇒ −9x² + 34x + 8 = 0

9x² − 34x − 8 = 0

We want factors of 9x² − 34x − 8

Find two numbers whose product = 9 × (−8) = −72, and sum = −34

Factors: −36 and 2

9x² − 36x + 2x − 8 = 0 ⇒ 9x (x − 4) + 2 (x − 4) = 0 ⇒ (x − 4) (9x + 2) = 0

x = 4 or x = `−2/9`