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Questions
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी भी बिंदु पर स्पर्श-रेखा, स्पर्श बिंदु से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।
सिद्ध कीजिए कि वृत्त के किसी बिंदु पर स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या के लम्बवत होती है।
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Solution 1
मान लें कि एक वृत्त है जिसका केंद्र O है और बिंदु P पर स्पर्शरेखा AB खींची गई है।
सिद्ध करना है: OP ⊥ AB
रेखा AB पर P के अलावा एक बिंदु Q लें।
Q, स्पर्शरेखा AB पर है और स्पर्श बिंदु P नहीं है।
अतः Q वृत्त के बाहर स्थित है।
मान लें कि OQ वृत्त को R बिंदु पर काटता है।
तब, OR < O [भाग, पूर्ण से छोटा होता है] ...(i)
परंतु, OP = OR [एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ] ...(ii)
अतः, OP < OQ [(i) और (ii) से]
इस प्रकार, OP, O से AB पर स्थित किसी भी अन्य बिंदु (P को छोड़कर ) तक खींचे गए रेखाखंड से छोटा है।
अर्थात OP, बिंदु O और रेखा AB के बीच की सबसे छोटी दूरी है।
लेकिन, किसी बिंदु से किसी रेखा तक की सबसे छोटी दूरी लंबवत दूरी होती है।
इस तरह OP ⊥ AB।
Solution 2
दत्त: रेखा बिंदु A पर (O, r) की स्पर्श रेखा है।
साध्य: OA ⊥ l
रचना: स्पर्श रेखा l पर A के अलावा कोई अन्य बिंदु B लीजिए। OB को मिलाइए। मान लीजिए OB वृत्त को C पर मिलता है।
उपपत्ति: हम जानते हैं कि बिंदु O को रेखा l के किसी बिंदु से जोड़ने वाले सभी रेखाखंडों में, रेखा l पर डाला गया लंब सबसे छोटा होता है।
OA = OC ...(उसी वृत्त की त्रिज्या)
अब,
OB = OC + BC
⇒ OB > OC
⇒ OB > OA
⇒ OA < OB
स्पर्श रेखा l पर B कोई एक बिंदु है। इस प्रकार, OA की लंबाई, बिंदु O को रेखा l के किसीभी अन्य बिंदु से जोड़ने वाले रेखाखंड से छोटी है।
यहाँ, OA ⊥ l
अतः, वृत्त के किसी भी बिंदु पर खींची गई स्पर्श रेखा, स्पर्श बिंदु से होकर जाने वाली त्रिज्या पर लंब होती है।
