Question

नेहा यह दावा करती है कि संख्याओं 1 और 2 के बीच कोई अपरिमेय संख्या नहीं होती है। रौनक यह दावा करता है कि `sqrt2` संख्याओं 1 और 2 के बीच की एक संख्या है, जो एक अपरिमेय संख्या है। बताइए दोनों में कौन सही है। यह सिद्ध करके कि `sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है या नहीं औचित्य सिद्ध कीजिए।

Answer 1

रौनक सही है।

`sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है जो 1 और 2 के बीच स्थित है।

औचित्य:

`1^2 = 1, (sqrt2)^2 = 2, 2^2 = 4`

= 1 < 2 < 4

= 12 < 2 < 22

= `sqrt1 < sqrt 2 < sqrt4`

= `1 < sqrt2 < 2`

यह दर्शाता है कि `sqrt2`, 1 और 2 के बीच एक अंक है।

`sqrt2` की अपरिमेयता का प्रमाण

मान लें कि `sqrt2` एक परिमेय संख्या है।

∴ `sqrt2 = a/b, b ≠ 0` तथा a और b परस्पर अभाज्य हैं (1 के अलावा कोई समान गुणनखंड नहीं है)

अब, `sqrt2 = a/b`

`(sqrt2)^2 = (a/b)^2` {दोनों पक्षों का वर्ग करने पर}

= `2 = (a^2)/(b^2)`   ...(i)

= `b^2 = (a^2)/2`

∴ 2, a² को विभाजित करता है

= 2, a को विभाजित करता है।

मान लें a = 2m, जहाँ m एक पूर्णांक है।

= a² = (2m)² {दोनों पक्षों का वर्ग करने पर}

= a² = 4m²

= 2b² = 4m² {समीकरण (i) से}

= `(2b^2)/4 = m^2`

= `m^2 = b^2/2`

= 2, b² को विभाजित करता है

= 2, b को विभाजित करता है।

∴ a और b के पास कम से कम 2 सामान्य गुणनखंड हैं।

लेकिन यह इस तथ्य का खंडन करता है कि a और b सह-अभाज्य हैं।

∴ हमारी मान्यता गलत है।

∴ `sqrt2` एक अपरिमेय संख्या है।