Question

R त्रिज्याका पतला वृत्तीय तार अपने ऊर्ध्वाधर व्यास के परितः कोणीय आवृत्ति ω से घूर्णन कर रहा है। यह दर्शाइए कि इस तार में डली कोई मणिका ω ≤  `sqrt("g"//"R")` के लिए अपने निम्नतम बिंदु  पर रहती है। ω = `sqrt(2"g"//"R")` के लिए, केंद्र से मनके को जोड़ने वाला त्रिज्य सदिश ऊर्ध्वाधर अधोमुखी दिशा से कितना कोण बनाता है? (घर्षण को उपेक्षणीय मानिए)

Answer 1

माना कि मणिका का द्रव्यमान m है तथा किसी क्षण मणिका को वृत्तीय तार के केंद्र से मिलाने वाली त्रिज्या ऊर्ध्वाधर से θ कोण पर झुकी है।

इस समय मणिका पर दो बल लगे हैं –

(1) वृत्तीय तार की अभिलंब प्रतिक्रिया N केंद्र O की ओर।

(2) भूमिका का भार mg नीचे की ओर।
मणिका वृत्तीय तार के साथ PQ = r त्रिज्या के वृत्तीय पथ पर घूम रही है, जिसका केंद्र Q है।

जहाँ r = PQ = OP sin 8 = R sin θ
प्रतिक्रिया N की ऊर्ध्वाधर तथा क्षैतिज घटकों में वियोजित करने पर, ऊध्र्वाधर घटक N cos θ भार को सन्तुलित करता है।
अर्थात् N cos θ = mg
क्षैतिज घटक N sin θ, अभिकेंद्र बल mr ω² प्रदान करता है।
अर्थात् N sin θ mr ω²
N sin θ =m (R sin θ) ω²
N = mR ω²
समी. (1) में मान रखने पर,

`"m""R""ω"^2 "cos" theta = "mg"`

या `"cos"  theta = "g"/("R""ω"^2)` ... (2)

∵ `|"cos"  theta| ≤ 1`;  अतः  `"g"/("R""ω"^2) ≥ 1`

तब  θ का कोई भी मान समी. (2) को संतुष्ट नहीं कर पाएगा, ऐसी स्थिति में मणिक निम्नतम बिंदु पर पड़ी रहेगी।

इसके लिए आवश्यक शर्त निम्नलिखित है-

`"g"/("R""ω"^2) ≥ 1`  या `"g"/"R" ≥ "ω"^2`  या `"ω"^2 ≤ "g"/"R"`

∴ `"ω" ≤ sqrt("g"/"R")`

यदि ω = `sqrt(2"g")/"R"` हो तो समी. (2) से,

`"cos" theta = "g"/"R" xx ("R"/(2"g")) = 1/2`   (∴ θ = 60°)

अर्थात मनिका को केंद्र से जोड़ने वाली त्रिज्या ऊर्ध्वाधर से 60° का कोण बनाएगी।