Question

Prove the following:

`sin^-1(-1/2) + cos^-1(-sqrt(3)/2) = cos^-1(-1/2)`

Answer 1

Let `sin^-1(-1/2) = α, "where" - pi/(2) ≤ α ≤ pi/(2)`

∴ sin α = `-1/2 = -sin  pi/(6)`

∴ sin α = `sin(-pi/6)`     ...[∵ sin(– θ) = – sin θ]

∴ α = `- pi/(6)               ...[∵ - pi/(2) ≤ - pi/(6) ≤ pi/(2)]`

∴ `sin^-1(-1/2) = - pi/(6)`        ...(1)

Let `cos^-1(- sqrt(3)/2)` = β, where 0 ≤ β ≤ π

∴ cos β = `- sqrt(3)/(2) = - cos  pi/(6)`

∴ cos β =  `cos(pi - pi/6)`      ...[∵ cos(π – θ) = –  cos θ]

∴ cos β = `cos  (5pi)/(6)`

∴ β = `(5pi)/(6)                      ...[∵ 0 ≤ (5pi)/(6) ≤ pi]`

∴ `cos^-1(- sqrt(3)/2) = (5pi)/(6)`   ...(2)

Let `cos^-1(- 1/2)` = ϒ,  where 0 ≤ ϒ ≤ π

∴ cos ϒ = `-(1)/(2) = - cos  pi/(3)`

∴ cos ϒ = `cos(pi - pi/3)`      ...[∵ cos(π – θ) = –  cos θ]

∴ cos ϒ = `cos  (2pi)/(3)`

∴ ϒ = `(2pi)/(3)                    ...[∵ 0 ≤ (2pi)/(3) ≤ pi]`

∴ `cos^-1(- 1/2) = (2pi)/(3)`         ...(3)

L.H.S. = `sin^-1(- 1/2) + cos^-1(- sqrt(3)/2)`

= `- pi/(6) + (5pi)/(6)`       ...[By (1) and (2)]

= `(4pi)/(6) = (2pi)/(3)`

= `cos^-1(- 1/2)`            ...[By (3)]
= R.H.S.