Question

Prove that `tan θ/(1 - cot θ) + cot θ/(1 - tan θ) = sec θ  "cosec"  θ + 1`.

Answer 1

`tan θ/(1 - cot θ) + cot θ/(1 - tan θ) = sec θ  "cosec"  θ + 1`

L.H.S. = `(sin θ/cos θ)/((1 - cos θ)/sin θ) + (cos θ/sinθ)/((1 - sin θ)/cos θ)`

⇒ `(sin θ/cos θ)/((sin θ - cos θ)/sin θ) + (cos θ/sin θ)/((cos θ - sin θ)/cos θ)`

⇒ `(sin^2θ)/(cosθ(sin θ - cos θ)) + (cos^2θ)/(sin θ(cos θ - sin θ))`

⇒ `(sin^3θ - cos^3θ)/(sin θ cos θ (sin θ - cos θ))`

⇒ `((sin θ - cos θ)(sin^2θ + cos^2θ + sin θ cos θ))/(sin θ cos θ (sin θ - cos θ))`   ...[∵ a³ – b³ = (a – b)(a² + b² + ab)]

⇒ `(1 + sin θ cos θ)/(sin θ cos θ)`   ...(∵ sin² θ + cos² θ = 1)

⇒ `1/(sin θ cos θ) + (sin θ cos θ)/(sin θ cos θ)`

⇒ sec θ cosec θ + 1

L.H.S. = R.H.S.

Hence proved.