Question

Prove that sin² 5° + sin² 10° .......... + sin² 85° + sin² 90° = `9 1/2`.

Answer 1

LHS

= sin² 5° + sin² 10° + sin² 15° + sin² 20° + sin² 25° + sin² 30° + sin² 35°+ sin² 40° + sin ² 45° + sin² 50° + sin² 55° + sin² 60° + sin² 65° + sin² 70° + sin² 75° + sin² 80° + sin² 85° + sin² 90°.

= (sin² 5° + sin² 85°) + (sin² 10° + sin² 80°) + (sin² 15° + sin² 75° ) + (sin² 20°+ sin² 70°) + (sin² 25° + sin² 65°) + (sin² 30° + sin² 60°) + (sin² 35° + sin² 55°) + (sin² 40° + sin² 50°) + sin ² 45° + sin² 90°.

= (sin² 5° + cos² 5°) + (sin² 10° + cos² 10°) + (sin² 15° + cos² 15° ) + (sin² 20°+ cos² 20°) + (sin² 25° + cos² 25°) + (sin² 30° + cos² 30°) + (sin² 35° + cos² 35°) + (sin² 40° + cos² 40°) +`(1/sqrt2)^2 + (1)^2 ....[ ∵ sin(90° - θ) = cos θ ∵ sin 90° = 1 and sin 45° = 1/sqrt2  ] [∵ sin^2 θ + cos^2 θ = 1]`

= 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + `1/2` + 1

= `9 1/2`

= RHS

Hence proved.