Question

निम्नलिखित रैखिक समीकरणों के युग्म का आलेखीय निरूपण कीजिए और इससे इस युग्म की संगति की स्थिति पर टिप्पणी कीजिए:

x – 5y = 6; 2x – 10y = 12

Answer 1

1. पहले समीकरण के लिए बिंदु पहचानें।

समीकरण x – 5y = 6 के लिए

यदि y = 0 है, तो x – 5(0) = 6

⇒ x = 6

बिंदु: (6, 0)

यदि y = –2 है, तो x – 5(–2) = 6

⇒ x + 10 = 6

⇒ x = –4

बिंदु: (–4, –2)

यदि x = 11 है, तो 11 – 5y = 6

⇒ –5y = –5

⇒ y = 1

बिंदु: (11, 1)

2. दूसरे समीकरण के लिए बिंदु पहचानें।

समीकरण 2x – 10y = 12 के लिए:

यदि y = 0 है, तो 2x – 10(0) = 12

⇒ 2x = 12

⇒ x = 6

बिंदु: (6, 0)

यदि x = 1 है, तो 2(1) – 10y = 12

⇒ 2 – 10y = 12

⇒ –10y = 10

⇒ y = –1

ध्यान दें कि दूसरी पूरी समीकरण को 2 से भाग देने पर x – 5y = 6 प्राप्त होता है, जो पहली समीकरण के बिल्कुल समान है।

3. समीकरणों को आलेखीय रूप से दर्शाएँ:

चूँकि दोनों समीकरण सरल होकर एक ही रैखिक संबंध में बदल जाते हैं, इसलिए उन्हें ग्राफ़ पर अंकित करने पर निर्देशांक तल पर एक ही रेखा प्राप्त होती है।

4. संगति की स्थिति पर टिप्पणी करें।

बीजगणितीय रूप से संगति निर्धारित करने के लिए, समीकरणों के रूप a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के लिए गुणांकों के अनुपातों `(a_1)/(a_2), (b_1)/(b_2)` और `(c_1)/(c_2)` की तुलना करें:

`(a_1)/(a_2) = 1/2`

`(b_1)/(b_2) = (-5)/(-10) = 1/2`

`(c_1)/(c_2) = 6/12 = 1/2`

चूँकि `(a_1)/(a_2) = (b_1)/(b_2) = (c_1)/(c_2)` है, इसलिए रेखाएँ संपाती हैं। इसका अर्थ है कि रेखा पर स्थित प्रत्येक बिंदु एक हल है, जिसके परिणामस्वरूप अनंत हल प्राप्त होते हैं। अतः, यह निकाय संगत और आश्रित है।