Question

निम्नलिखित फलन के अवकलज ज्ञात कीजिए (यह समझा जाए कि a, b, c, d, p, q, r और s निश्चित शून्येतर अचर हैं और m तथा n पूर्णांक हैं।):

sin (x + a)

Answer 1

माना f(x) = sin (x + a)

f(x + h) = sin (x + h + a)

प्रथम सिद्धांत के अनुसार,

f'(x) = `lim_(h->0)(f(x + h) - f(x))/h`

= `lim_(h->0)(sin (x + h + a) - sin (x + a))/h`

= `lim_(h->0)1/h [2cos  ((x + h + a + x + a)/2) sin  ((x + h + a - x - a)/2)]`

= `lim_(h->0)1/h [(2 cos  (2x + 2a + h)/2)  sin (h/2)]`

= `lim_(h->0)1/h [( cos  (2x + 2a + h)/2)  {sin (h/2)/(h/2)}]`

= `lim_(h->0)1/h [((2x + 2a + h)/2)  lim_(h->0){sin (h/2)/((h/2))}]`     `["जैसे"  h ->0 => h/2 ->0]`

= `cos  ((2x + 2a)/ 2) xx 1`       `[lim_(x->0) (sin x)/x = 1]`

= cos (x + a)