Advertisements
Advertisements
Question
`sum_(n = 1)^13 (i^n + i^(n + 1))` का मान ज्ञात कीजिए, जहाँ n ∈ N
Advertisements
Solution
टिप्पणी दि गई है कि `sum_(n = 1)^13 (i^n + i^(n + 1))`
= (i + i2) + (i2 + i3) + (i3 + i4) + (i4 + i5) + (i5 + i6) + (i6 + i7) + (i7 + i8) + (i8 + i9) + (i9 + i10) + (i10 + i11) + (i11 + i12) + (i12 + i13) + (i13 + i14)
= i + 2(i2 + i3 + i4 + i5 + i6 + i7 + i8 + i9 + i10 + i11 + i12 + i13) + i14 ....(i)
समीकरण (i) हल करें।
= i + 2[–1 – i + 1 + i – 1 – i + 1 + i – 1 – i + 1 + i] + (–1)
= i + 2(0) – 1
⇒ –1 + i
इसलिए, आवश्यक मान –1 + i है।
APPEARS IN
RELATED QUESTIONS
सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए:
4 - 3i
सम्मिश्र संख्या का गुणात्मक प्रतिलोम ज्ञात कीजिए:
- i
`(1/(1-4i) - 2/(1+i))((3-4i)/(5+i))` को मानक रूप में परिवर्तित कीजिए।
यदि α और β भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं जहाँ |β| = 1, तब `|(beta - alpha)/(1-baralphabeta)|` का मान ज्ञात कीजिए।
यदि `((1+i)/(1-i))^m` = 1, तो m का न्यूनतम पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।
यदि `(x + iy)^(1/3)` = a + ib, जहाँ y, a, b ∈ R हे तो दर्शाइए कि `x/a - y/b` = –2(a2 + b2)
'a' का वास्तविक मान जिसके लिए 3i3 – 2ai2 + (1 – a)i + 5 वास्तविक है ______ होगा।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
एक शून्येतर सम्मिश्र संख्या को i से गुणा करने पर, वह उसे वामावर्त दिशा में एक समकोण पर घुमा देता है।
वह कौन-सा न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक n हैं, जिसके लिए (1 + i)2n = (1 – i)2n?
स्तंभ A और स्तंभ B के कथनों का सही मिलान कीजिए:
| स्तंभ A | स्तंभ B |
| (a) 1 + i2 + i4 + i6 + ... i20 का मान है | (i) शुद्धत: काल्पनिक सम्मिश्र संख्या |
| (b) `i^(-1097)` का मान है | (ii) शुद्धत: वास्तविक सम्मिश्र संख्या |
| (c) 1 + i का संयुग्मी किस चतुर्थांश में स्थित है | (iii) द्वितीय चतुर्थांश |
| (d) `(1 + 2i)/(1 - i)` किस चतुर्थांश में स्थित है | (iv) चौथा चतुर्थांश |
| (e) यदि a, b, c ∈ R और b2 - 4ac < 0 तब समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल अवास्तविक एवं सम्मिश्र हैं | (v) संयुग्मी युग्मों में घटित नहीं हो सकते हैं |
| (f) यदि a, b, c ∈ R और b2 – 4ac > 0 एवं b2 – 4ac एक पूर्ण वर्ग है, तो समीकरण ax2 + bx + c = 0 के मूल हैं | (vi) संयुग्मी युग्मों में घटित हो सकते हैं |
z का बिंदु पथ क्या होगा, यदि z – 2 – 3i का कोणांक `pi/4` है?
1 + i2 + i4 + i6 + ... + i2n है:
सम्मिश्र संख्याओं z, –iz और z + iz द्वारा सम्मिश्र तल में बनाये गये त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
एक धनात्मक पूर्णांक n के लिए, `(1−i)^n(1−1/i)^n` का मान ज्ञात कीजिए।
यदि `((1 - i)/(1 + i))^100` = a + ib है, तो (a, b) ज्ञात कीजिए।
यदि (1 + i)z = `(1 - i)barz` है, तो दर्शाइए कि z = `-ibarz`
यदि `(z - 1)/(z + 1)` एक शुद्धत: काल्पनिक संख्या है (z ≠ −1), तो |z| का मान ज्ञात कीजिए।
यदि |z1| = |z2| = ... = |zn| = 1, तो दर्शाइए कि |z1 + z2 + z3 + ... + zn| = `|1/z_1 + 1/z_2 + 1/z_3 + ... + 1/z_n|`
`sqrt(-25) xx sqrt(-9)` का मान ______ है।
यदि `|(z - 2)/(z + 2)| = pi/6` है, तो z का बिंदु पथ ______ है।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
एक शून्येत्तर सम्मिश्र संख्या का −i से गुणन उस सम्मिश्र संख्या द्वारा निरूपित बिंदु का मूल बिंदु के परित वामावर्त दिशा में एक समकोण पर घूर्णन कर देता है।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य है।
|z – 1| = |z – i| को निरूपित करने वाला बिंदु पथ (1, 0) और (0, 1) को मिलाने वाली रेखा पर एक लंब रेखा है।
(z + 3) (`overlinez` + 3) का मान निम्नलिखित में से किसके समतुल्य है
मान लीजिए कि x, y ∈ R, तो x + iy एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है, यदि
यदि a + ib = c + id, तो
प्रतिबंध `|(i + z)/(i - z)| = 1` को संतुष्ट करने वाली सम्मिश्र संख्या स्थित होगी:
