Question

क्या एक ऐसे फलन का अस्तित्व है, जो प्रत्येक बिंदु पर संतत हो किंतु केवल दो बिंदुओं पर अवकलनीय न हो? अपने उत्तर का औचित्य भी बताइए।

Answer 1

मान लीजिए f(x) = |x − 1| + |x − 2| फलन है।

हम f(x) को इस प्रकार पुनः परिभाषित करते हैं:

यह सभी x ∈ R पर संतत है लेकिन x = 1, 2 पर अवकलनीय नहीं है।

f(x) = `{(-(x - 1) - (x - 2)", यदि"  x<1),((x - 1) - (x - 2)", यदि"  1<= x <=2), ((x - 1) + (x - 2)", यदि"  x>2):}`

अर्थात, f(x) = `{(-2x + 3", यदि"  x<1),(1", यदि"  1<= x <=2), ((2x - 3)", यदि"  x>2):}`

f(x) संभवतः 1, 2 को छोड़कर सभी x पर स्पष्ट रूप से सतंत है।

पर, x = 1

`lim_(x->1^-)` f(x) = `lim_(h->0)` (−2(1 − h) + 3)

= −2 + 3

= 1

`lim_(x->1^+)` f(x) = `lim_(x->^+)` (1) = 1

साथ ही, f(1) = 1

इस प्रकार, `lim_(x->1^-)` f(x) = `lim_(x->1^+) `f(x) = f(1)

अतः, f(x) x = 1 पर सतंत है।

पर x = 2

`lim_(x->2^-)` f(x) = `lim_(x->2^-)` 1 = 1

`lim_(x->2^+)` f(x) = `lim_(x->2^+)` (2x − 3)

`lim_(h->0)` (2(2 + h) − 3)

= 2(2) − 3

= 1

साथ ही f(2) = 1

इस प्रकार, `lim_(x->2^-)` f(x) = `lim_(x->2^+)` f(x) = f(2)

अतः f(x) x = 2 पर सतंत है।

अतः, 'f' सभी x ∈ R पर सतंत है।

अब, f'(x) = `{(-2", यदि"  x<1),(0", यदि"  1< x <2), (2", यदि"  x>2):}`

x = 1 पर व्युत्पत्ति

Lf'(1) = `lim_(h->0) (f (1-h) - f (1))/(-h)`

= `lim_(h->0) (-2 (1 - h) + 3 - 1)/-h`

= `lim_(h->0) (2h)/-h`

= `lim_(h->0)` (−2)

= −2

Lf'(2) = `lim_(h->0) (f(2 - h) - f (2))/h = lim_(h->0) (1 - 1)/h = 0`

इस प्रकार, Lf'(1) ≠ Rf'(1)

= 'f' व्युत्पन्न नहीं है।

x = 2 पर व्युत्पत्ति

Lf'(2) = `lim_(h->0) (f (2 - h) - f(2))/h`

= `lim_(h->0) (1 - 1)/h`

= 0

Rf'(2) = `lim_(h->0) (f (2 + h) - f (2))/h`

= `lim_(h->0) (2 (2 + h) - 3 - 1)/h`

= `lim_(h->0^+) (2h)/h`

= `lim_(h->0^+)` 2

= 2

⇒ Lf'(2) ≠ Rf'(2)

⇒ f, x = 2 पर व्युत्पन्न नहीं है।

अतः f(x) = |x − 1| + |x − 2| सर्वत्र सतंत है तथा 1, 2 को छोड़कर सभी x ∈ R पर अवकलनीय है।