Question

‘कोलम’ एक रंगोली का नाम है जो दक्षिण भारतीय राज्यों में चावल के आटे द्वारा बनायी जाती है। इसे बिंदुओं के ग्रिड पैटर्न पर बनाते हैं। ऐसी ही एक रंगोली नीचे दिखायी गयी है: दी गई आकृति को ध्यानपूर्वक देखिए। पहले वर्ग में 4 बिंदु हैं, दूसरे वर्ग में 8 बिंदु हैं, तीसरे वर्ग में 12 बिंदु हैं। इसी प्रकार पैटर्न बढ़ता जाता है।

उपरोक्त के आधार पर निम्न प्रश्नों के उत्तर दीजिए:

1. दर्शाइए कि ऊपर दिए गए बिंदुओं की संख्या एक समांतर श्रेढ़ी बनाती है। इसका प्रथम पद तथा सार्वअंतर लिखिये। (1)
2. इस AP. का nवाँ पद लिखिए। (1)
3. 1. एक खुले बड़े मैदान पर इसी पैटर्न को बढ़ाया गया।यदि कुल 220 बिंदुओं का उपयोग हुआ हो तो बने हुए वर्गों की संख्या ज्ञात कीजिए। (2)
      अथवा
   2. क्या 100 बिंदुओं का प्रयोग करते हुए - को बनाए जा सकते हैं? यदि हाँ, तो 1 का मान बताइए। (2)

Answer 1

(i) क्रमिक वर्गों में बिंदुओं की संख्या है:

पहला वर्ग (a₁) = 4

दूसरा वर्ग (a₂) = 8

तीसरा वर्ग (a₃) ​​= 12

क्रमागत पदों के बीच का अंतर:

a₂ – a₁ = 8 – 4 = 4

a₃ – a₂ = 12 – 8 = 4

चूँकि क्रमागत पदों के बीच का अंतर स्थिर है (d = 4), इसलिए यह अनुक्रम एक समांतर श्रेणी बनाता है।

पहला पद (a) 4 है और सामान्य अंतर (d) 4 है।

(ii) पहला पद (a) = 4

सामान्य अंतर (d) = 4

n-वाँ पद:

a_n = a + (n – 1)d

a_n = 4 + (n – 1)4

a_n = 4n

A.P. का n-वाँ पद 4n है।

(iii) (a) दिया है: Sn = 220, a = 4, d = 4

किसी A.P. के प्रथम n पदों का योग है:

`S_n = n/2 [2a + (n - 1)d]`

`220 = n/2 [2(4) + (n - 1)4]`

`220 = n/2 [8 + 4n - 4]`

`220 = n/2 [4n + 4]`

`220 = n/2 xx 4(n + 1)`

220 = 2n(n + 1)

110 = n² + n

n² + n – 110 = 0

n² + 11n = 10n – 110 = 0

n(n + 11) – 10(n + 11) = 0

(n – 10)(n + 11) = 0

चूँकि वर्गों की संख्या (n) ऋणात्मक नहीं हो सकती, इसलिए n = 10 है।

कुल बने हुए वर्गों की संख्या 10 है।

अथवा

(b) मान लीजिए Sn = 100 है, और जाँचिए कि प्राप्त n एक प्राकृत संख्या है या नहीं।

S_n = 2n² + 2n

2n² + 2n = 100

n² + n = 50

n² + n – 50 = 0

द्विघात सूत्र `n = (-b ± sqrt(b^2 - 4ac))/(2a)` का उपयोग करके

यहाँ a = 1, b = 1, c = –50 है।

D = b² – 4ac

= 1² – 4(1)(–50)

= 1 + 200

= 201

n के पूर्णांक होने के लिए, विविक्तकर (D) का एक पूर्ण वर्ग होना आवश्यक है।

चूँकि 201 एक पूर्ण वर्ग नहीं है (14² = 196 और 15² = 225), इसलिए n का मान एक प्राकृत संख्या नहीं होगा।

इसलिए, ठीक 100 बिंदुओं का उपयोग करके वर्गों की एक सटीक संख्या पूरी करना संभव नहीं है।

नहीं, यह संभव नहीं है, क्योंकि n एक प्राकृत संख्या नहीं है।