Question

किसी M द्रव्यमान तथा R त्रिज्या वाले एक पहिए के किनारे (rim) पर एक रैखिक आवेश स्थापित किया गया है जिसकी प्रति इकाई लम्बाई पर आवेश का मान 2 है। पहिए के स्पोक (spoke) हल्के एवं कुचालक हैं तथा वह अपनी अक्ष के परितः घर्षण रहित घूर्णन हेतु स्वतन्त्र हैं जैसा कि चित्र में दर्शाया गया है। पहिए के वृत्तीय भाग पर रिम, के अन्दर एकसमान चुम्बकीय क्षेत्र विस्तरित है। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है-

B = - B₀ k    (r ≤ a; a < R)

= 0  (अन्यथा)

चुम्बकीय-क्षेत्र को अचानक ‘ऑफ (Switched off) करने के पश्चात्, पहिए का कोणीय वेग ज्ञात कीजिए।

Answer 1

माना चुम्बकीय-क्षेत्र को स्विच ऑफ करने पर E विद्युत-क्षेत्र उत्पन्न होता है तथा पहिया ω कोणीय वेग से घूमना प्रारम्भ करता है।

यदि पहिए पर कुल आवेश q है तो एक पूर्ण चक्र के दौरान विद्युत-क्षेत्र द्वारा आवेश को घुमाने में कृत कार्य

W = F × s = qE × 2 π R

∴ उत्पन्न विद्युत वाहक बल 

e = `"W"/"q" = "e" xx 2 pi "R"`   ....(1)

परिपथ से बद्ध कुल फ्लक्स 

`phi = pi a^2 "B"    ...[because 0 <= "r" <= a =>  "B" = - "B"_0 "K", "a" < "r" => "B" = 0]`

∴ प्रेरित विद्युत वाहक बल 

`"e" = - ("d"phi)/"dt" = - pi"a"^2 "dB"/"dt"`

अतः `"E" xx 2 pi "R" = - pi "a"^2 "dB"/"dt"`

q dt से गुणा करने पर,

qEdt × 2 π R = - q π a² dB

या  F dt = `- "qa"^2/(2"R") "dB"        ...[because "qE" = "F"]`

परन्तु F dt = बल का आवेग = पहिए के संवेग में परिवर्तन

= Mv = M . 0 = M ω R    .....[∵ v = ω R]

अतः M ω R = `- "qa"^2/(2"R") "dB"`

परन्तु dB = चुम्बकीय-क्षेत्र में परिवर्तन

= स्विच ऑफ करने के बाद क्षेत्र - स्विच ऑफ करने के पूर्व क्षेत्र

= 0 - (- B₀ k) = B₀ k

∴ M ω R = `- "qa"^2/(2"R")` B₀ k

= `- π a^2 B_0 k * "q"/(2pi"R")`

परन्तु `"q"/(2pi"R") = lambda` आवेश का रेखीय घनत्व क्षेत्र को स्विच ऑफ करने के तुरन्त बाद पहिए का 

कोणीय वेग `vecomega = (pi lambda "a"^2 "B"_0)/"Mr" hat"k"`