Question

k के मान । ज्ञात कीजिए जबकि रेखा (k – 3)x – (4 – k²)y + k² – 7k + 6 = 0

1.  x-अक्ष के समांतर है।
2. y-अक्ष के समांतर है।
3. मूल बिंदु से जाती है।

Answer 1

रेखा का समीकरण दिया गया है

(k – 3) x – (4 – k²) y + k² – 7k + 6 = 0    …(1)

(a) यदि दी गई रेखा x-अक्ष के समानांतर है, तो

दी गई रेखा की ढाल = x-अक्ष का ढाल

दी गई रेखा को इस प्रकार लिखा जा सकता है

(4 – k²) y = (k – 3) x + k² – 7k + 6 = 0

`y = ((k - 3))/((4 - k^2))x + (k^2 - 7k + 6)/((4 - k^2))`, y = mx + c का रूप है

∴ दी गई रेखा की ढाल = `(k - 3)/(4 - k^2)`

x-अक्ष का ढाल = 0

∴ `((k - 3))/((4 - k^2)) = 0`

= k - 3 = 0

= k = 3

इस प्रकार, यदि दी गई रेखा x-अक्ष के समानांतर है, तो k का मान 3 है।

(b) यदि दी गई रेखा y-अक्ष के समानांतर है, तो यह लंबवत है। अत: इसका ढाल अपरिभाषित होगा।

दी गई रेखा की ढाल `(k - 3)/(4 - k^2)` है।

अब, `(k - 3)/(4 - k^2)` k² = 4 पर अपरिभाषित है

k² = 4

⇒ k = ±2

इस प्रकार, यदि दी गई रेखा y-अक्ष के समानांतर है, तो k का मान ±2 है।

(c) यदि दी गई रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है, तो बिंदु (0, 0) रेखा के दिए गए समीकरण को संतुष्ट करता है।

(k - 3) (0) - (4 - k²)(0) + k² - 7k + 6 = 0

k² - 7k + 6 = 0

k² - 6k + k + 6 = 0

(k - 6) (k - 1) = 0

k = 1 या 6

इस प्रकार, यदि दी गई रेखा मूल बिंदु से होकर जाती है, तो k का मान या तो 1 या 6 है।