Question

एक कक्षा में 15 छात्र हैं जिनकी आयु 14, 17, 15, 14, 21, 17, 19, 20, 16, 18, 20, 17, 16, 19 और 20 वर्ष हैं। एक छात्र को इस प्रकार चुना गया कि प्रत्येक छात्र के चुने जाने की संभावना समान है और चुने गए छात्र की आयु (X) को लिखा गया। यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन ज्ञात कीजिए। X का माध्य, प्रसरण व मानक विचलन भी ज्ञात कीजिए।

Answer 1

कक्षा में 15 विद्यार्थी हैं। प्रत्येक छात्र के पास चुने जाने का समान अवसर होता है। इसलिए, प्रत्येक छात्र के चुने जाने की प्रायिकता `1/15` है।

दी गई जानकारी को आवृत्ति तालिका में निम्नानुसार संकलित किया जा सकता है।

X	14	15	16	17	18	19	20	21
P(X)	2	1	2	3	1	2	3	1

P(X = 14) = `2/15`, P(X = 15) = `1/15`,

P(X = 16) = `2/15`, P(X = 17) = `3/15`,

P(X = 18) = `1/15`, P(X = 19) = `2/15`,

P(X = 20) = `3/15`, P(X = 21) = `1/15`

इसलिए, यादृच्छिक चर X का प्रायिकता बंटन इस प्रकार है।

X	14	15	16	17	18	19	20	21
P(X)	`2/15`	`1/15`	`2/15`	`3/15`	`1/15`	`2/15`	`3/15`	`1/15`

माध्य σ² = E(X) = ∑P_ix_i

= `2/15 .14 + 1/15 . 15 + 2/15 .16+ 3/15 .17 + 1/15 .18 + 2/15 .19 + 3/15 .20 + 1/15 .21`

= `(28 + 15 + 32 + 51 + 18 + 38 + 60 + 21)/15`

= `263/15`

= 17.53 

पुनः E(X²) = `∑"p"_"i""x"_"i"^2`

= `2/15 .14^2 + 1/15 .15^2 + 2/15 .16^2 + 3/15 .17^2 + 1/15 .18^2 + 2/15 .19^2 + 3/15 .20^2 + 1/15 .21^2`

= `(392 + 225 + 512 + 867 + 324 + 722 + 1200 + 441)/15`

= `4683/15`

= 312.2

प्रसरण (X) या var (X) = E(X²) − (E(X))² 

= `4683/15 - (263/15)^2`

= `(70245 - 69169)/225`

= `1076/225`

= 4.78

इसलिए  मानक विचलन  (S.D.) = `sqrt("var" ("X"))`

= `sqrt4.78`

= 2.19