Question

दी गई आकृति में, केंद्र O के वृत्त के परिगत एक चतुर्भुज PQRS खींचा गया है। सिद्ध कीजिए कि चतुर्भुज PQRS की सम्मुख भुजाओं द्वारा वृत्त के केंद्र O पर अंतरित कोण संपूरक होते हैं।

Answer 1

दिया गया: एक चतुर्भुज PQRS, जो केंद्र O वाले एक वृत्त को परिगत करता है। मान लीजिए कि यह वृत्त भुजाओं PQ, QR, RS और SP को क्रमशः बिंदुओं A, B, C और D पर स्पर्श करता है।

साध्य:

1. ∠POQ + ∠ROS = 180°
2. ∠QOR + ∠SOP = 180°

रचना: केंद्र O को शीर्षों P, Q, R, S तथा स्पर्श-बिंदुओं A, B, C, D से मिलाइए।

उपपत्ति:

1. त्रिभुजों की सर्वांगसमता:

माना ΔOAP और ΔODP में,

OA = OD ...(एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ)

PA = PD ...(बाह्य बिन्दु P से स्पर्श रेखाएँ बराबर होती हैं)

OP = OP ...(सामान्य भुजा)

इसलिए, SSS सर्वांगसमता कसौटी द्वारा ΔOAP ≅ ΔODP है।

CPCT द्वारा (सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग), ∠AOP = ∠DOP.

2. कोणों का नामकरण:

केंद्र O पर बनने वाले आठ कोणों को, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, नामांकित करें:

मान लीजिए ∠AOP = ∠1 और ∠DOP = ∠8 हैं।

चूँकि ΔOAP ≅ ΔODP, ∠1 = ∠8

इसी प्रकार, हम सिद्ध कर सकते हैं:

∠2 = ∠3   ...(ΔOAQ ≅ ΔOBQ से)

∠4 = ∠5   ...(ΔOBR ≅ ΔOCR से)

∠6 = ∠7   ...(ΔOCS ≅ ΔODS से)

3. एक बिंदु पर कोणों का योग:

बिंदु O के चारों ओर के सभी कोणों का योग 360° है।

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 + ∠6 + ∠7 + ∠8 = 360°

4. प्रतिस्थापन:

चरण 2 की समानताओं का उपयोग करते हुए, हम विपरीत भुजाओं के कोणों को एक साथ समूहित करने के लिए मान प्रतिस्थापित करते हैं:

(∠1 + ∠1) + (2 + ∠2) + (∠5 + ∠5) + (∠6 + ∠6) = 360°

2(∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6) = 360°

∠1 + ∠2 + ∠5 + ∠6 = 180°

5. निष्कर्ष:

चूँकि ∠1 + ∠2 = ∠POQ और ∠5 + ∠6 = ∠ROS, इसलिए हमारे पास है:

∠POQ + ∠ROS = 180°

इसी तरह, यह दिखाया जा सकता है कि:

∠QOR + ∠SOP = 180°