Question

छः प्रेक्षणों का माध्य तथा मानक विचलन क्रमशः 8 तथा 4 हैं। यदि प्रत्येक प्रेक्षण को तीन से गुणा कर दिया जाए तो परिणामी प्रेक्षणों का माध्य व मानक विचलन ज्ञात कीजिए।

Answer 1

मान लीजिए प्रेक्षण  x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ और x₆ हैं

यह दिया गया है कि माध्य 8 है तथा मानक विचलन 4 है।

⇒ माध्य = `overline x = (x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6)/6 = 8`        ....(i)

यदि प्रत्येक प्रेक्षण को 3 से गुणा किया जाए और परिणामी प्रेक्षण y_i हो, तो

y_i = 3x_i, i = 1 से 6 के लिए

∴ नया माध्य `overline y = (y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 + y_6)/6`

= `(3(x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6))/6`

= 3 × 8             .....[(i) का प्रयोग करके]

= 24

मानक विचलन σ = `sqrt(1/n sum_(i = 1)^6 (x_ i - overline x)^2)`

∴ `(4)^2 = 1/6 sum_(i = 1)^6(x_ i - overline x)^2`

`sum_(i = 1)^6(x_ i - overline x)^2 = 96`      ...(ii)

(i) और (ii) से यह देखा जा सकता है कि,

`overline y = 3overline x`

`overline x = 1/3 overliney`

(ii) में x_i और `overline x` के मानों को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

`sum_(i = 1)^6(1/3 y_i - 1/3 overline y)^2 = 96`

⇒ `sum_(i = 1)^6 (y - overline y)^2 = 864`

इसलिए, नए प्रेक्षण का प्रसरण = `(1/6 xx 864) = 144`

अतः परिणामी प्रेक्षण का मानक विचलन `sqrt144 = 12` है।