Question

1. दो लेंसों के संयोजन की प्रभावी फोकस दूरी उस स्थिति में ज्ञात कीजिए जब उनके मुख्य अक्ष संपाती हैं तथा ये एक-दूसरे से 8 cm दूरी पर रखे हैं। क्या उत्तर आपतित समांतर प्रकाश पुंज की दिशा पर निर्भर करेगा? क्या इस तंत्र के लिए प्रभावी फोकस दूरी किसी भी रूप में उपयोगी है?
2. उपर्युक्त व्यवस्था (a) में 1.5 cm ऊँचा कोई बिंब उत्तल लेंस की ओर रखा है। बिंब की उत्तल लेंस से दूरी 40 cm है। दो लेंसों के तंत्र द्वारा उत्पन्न आवर्धन तथा प्रतिबिंब का आकार ज्ञात कीजिए।

Answer 1

उत्तल लेंस की फोकस दूरी, f₁ = 30 cm

अवतल लेंस की फोकस दूरी, f₂ = −20 cm

दोनों लेंसों के बीच की दूरी, d = 8.0 cm

(a) (i) जब प्रकाश की समांतर किरण उत्तल लेंस पर सबसे पहले आपतित होती है:

लेंस सूत्र के अनुसार,

`1/"v"_1 - 1/"u"_1 = 1/"f"_1`

जहाँ,

u₁ = बिंब दूरी = ∞

v₁ = प्रतिबिंब दूरी 

`1/"v"_1 = 1/30- 1/∞ = 1/30`

∴ v₁ = 30 cm

प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए आभासी वस्तु के रूप में कार्य करेगा।

अवतल लेंस पर लेंस सूत्र लागू करने पर, हमें यह प्राप्त होता है:

`1/"v"_2 - 1/"u"_2 = 1/"f"_2`

जहाँ,

u₂ = बिंब दूरी 

= (30 − d) = 30 − 8 = 22 cm

v₂ = प्रतिबिंब दूरी 

`1/"v"_2 = 1/22 - 1/20 = (10-11)/220 = (-1)/220`

∴ v₂ = −220 cm

समांतर आपतित प्रकाश एक बिंदु से अपसरित होता प्रतीत होता है जो दोनों लेंसों के संयोजन के केंद्र से `(220 - "d"/2 = 220 - 4)` 216 m दूर है।

(ii) जब प्रकाश की समांतर किरण बायीं ओर से अवतल लेंस पर सबसे पहले आपतित होती है:

लेंस सूत्र के अनुसार, हमारे पास है:

`1/"v"_2 - 1/"u"_2 = 1/"f"_2`

`1/"v"_2 = 1/"f"_2 + 1/"u"_2`

जहाँ,

u₂ = बिंब दूरी = −∞

v₂ = प्रतिबिंब दूरी 

`1/"v"_2 = 1/-20 + 1/-∞ = -1/20`

∴ v₂ = −20 cm

प्रतिबिंब उत्तल लेंस के लिए वास्तविक वस्तु के रूप में कार्य करेगा।

उत्तल लेंस पर लेंस सूत्र लागू करने पर, हमें यह प्राप्त होता है:

`1/"v"_1 - 1/"u"_1 =  1/"f"_1`

जहाँ,

u₁ = बिंब दूरी

= −(20 + d) = −(20 + 8) = −28 cm

`1/"v"_1 = 1/30 + 1/-28 = (14 - 15)/420 = (-1)/420`

∴ v₂ = −420 cm

अतः समांतर आपतित किरण एक बिंदु से विचलित होता प्रतीत होता है जो दो लेंसों के संयोजन के केंद्र के बाईं ओर से (420 − 4) 416 cm दूर है।

इसका उत्तर संयोजन के उस पक्ष पर निर्भर करता है जिस पर प्रकाश की समांतर किरण आपतित होती है। प्रभावी फोकस दूरी की धारणा इस संयोजन के लिए उपयोगी नहीं है।

(b) प्रतिबिंब की ऊंचाई, h₁ = 1.5 cm

उत्तल लेंस की ओर से वस्तु की दूरी, `"u"_1` = −40 cm

`|"u"_1|` = 40 cm

लेंस सूत्र के अनुसार:

`1/"v"_1 - 1/"u"_1 = 1/"f"_1`

जहाँ,

v₁ = प्रतिबिंब दूरी

`1/"v"_1 = 1/30 + 1/(-40) = (4-3)/120 = 1/120`

∴ v₁ = 120 cm

आवर्धन, `"m" = "v"_1/|"u"_1|` 

= `120/40`

= 3

अतः उत्तल लेंस के कारण आवर्धन 3 है।

उत्तल लेंस द्वारा बनाई गई प्रतिबिंब अवतल लेंस के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करती है।

लेंस सूत्र के अनुसार:

`1/"v"_2 - 1/"u"_2 = 1/"f"_2`

जहाँ,

u₂ = बिंब दूरी

= +(120 − 8) = 112 cm

v₂ = प्रतिबिंब दूरी

`1/"v"_2  = 1/-20 + 1/112  = (-112 + 20)/2240 = (-92)/2240`

∴ v₂ = `(-2240)/92` cm

आवर्धन, `"m'" = |"v"_2/"u"_2|`

= `2240/92 xx 1/112`

= `20/92`

अतः अवतल लेंस के कारण आवर्धन `20/92` है।

दो लेंसों के संयोजन से उत्पन्न आवर्धन की गणना इस प्रकार की जाती है:

`"m" xx "m'"`

= `3 xx 20/92`

= `60/92`

= 0.652

संयोजन का आवर्धन इस प्रकार दिया गया है:

`"h"_2/"h"_1` = 0.652

h₂ = 0.652 × h₁

जहाँ,

h₁ = बिंब का आकार = 1.5 cm

h₂ = प्रतिबिंब का आकार 

∴ h₂ = 0.652 × 1.5 = 0.98 cm

अतः, प्रतिबिंब की ऊंचाई 0.98 cm है।