Question

1.05 m लंबाई तथा नगण्य द्रव्यमान की एक छड़ को बराबर लंबाई के दो तारों, एक इस्पात का (तार A) तथा दूसरा ऐलुमिनियम का तार (तार B) द्वारा सिरों से लटका दिया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। A तथा B के तारों के अनुप्रस्थ परिच्छेद के क्षेत्रफल क्रमशः 1.0 mm² और 2.0 mm हैं। छड़ के किसी बिन्दु से एक द्रव्यमान m को लटका दिया जाए ताकि इस्पात तथा ऐलुमिनियम के तारों में (a) समान प्रतिबल, तथा (b) समान विकृति उत्पन्न हो?

Answer 1

तारों के अनुप्रस्थ क्षेत्रफल
A_A = 1.0 mm², AB =2.0 mm²
Y_A = 2.0 × 10¹¹ Nm^-2,
Y_B = 0.7 × 10¹¹ Nm^-2

माना द्रव्यमान को तार A वाले सिरे से, x दूरी पर बिन्दु C से लटकाया गया है, तब इसकी दूसरे सिरे से दूरी (1.05 – x) m होगी।

माना इस भार के कारण तारों में F_A तथा F_B तनाव बले उत्पन्न होते हैं।
बिन्दु C के परितः आघूर्ण लेने पर,

F_A . x = F_B (1.05 - x)      ….(1)

(a) तारों में समान प्रतिबल उत्पन्न होता है; अत:

`"F"_"A"/"A"_"A" = "F"_"B"/"A"_"B"`    ....(2)

समीकरण (1) को (2) से भाग देने पर,

`"x" * "A"_"A" = (1.05 - "x") * "A"_"B" => "x"/(1.05 - "x") = "A"_"B"/"A"_"A" = 2.0/1.0`

`=> x = 2 (1.05 - x)  => 3x = 2 xx 1.05`

∴`x = 2.10/3 = 0.70  "m" = 70  "cm"`

अतः द्रव्यमान को तार A वाले सिरे से 70 cm की दूरी पर लटकाना चाहिए।

(b) सूत्र `"Y" = "FL"/("A"triangle"L")` से, `(triangle"L")/"L" = "F"/"AY"`

∵ दोनों तारों में समान विकृति उत्पन्न होती है; अतः 

`"F"_"A"/("A"_"A""Y"_"A") = "F"_"B"/("A"_"B""Y"_"B")`             ...(3)

समीकरण (1) को समीकरण (3) से भाग देने पर,

`x"A"_"A""Y"_"A" = (1.05 - x)  "A"_"B""Y"_"B"`

`=> x/(1.05 - x) = "A"_"B"/"A"_"A" xx "Y"_"B"/"Y"_"A" = 20/1.0 xx 0.7/2.0`

`=> x/(1.05 - x) = 7/10` या `10x = 1.05 xx 7 - 7x`

`=> 17x = 1.05 xx 7`   

∴ `x = (1.05 xx 7)/17 = 0.43  "m"` = 43 cm

अत: द्रव्यमान को तार A वाले सिरे से 43 cm की दूरी पर लटकाना चाहिए।