Question

निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।

`(x^3 + x^2 + x + 1) dy/dx = 2x^2 + x`; y = 1 यदि x = 0

Answer 1

हमारे पास है, `(x^3 + x^2 + x + 1) dy/dx =2 x^x + x`

⇒ `dy/dx = (2x^3 + x)/(x^3 + x^2 + x + 1)`

⇒ `dy = (2x^2 + x)/(x^2 (x + 1) + 1 (x + 1))  dx`              ....(1)

दोनों पक्षों (1) को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं।

⇒ `int dy = int (2x^2 + x)/((x^2 + 1) (x + 1))  dx`

⇒ `y = int (2x^2 + x)/((x^2 + 1) (x + 1))  dx`

⇒ `y = int (2x^2 + x)/ ((x^2 + 1) (x + 1))  dx`

माना `(2x^2 + x)/((x^2 +1) (x + 1)) = A/(x + 1) + (Bx + C)/ (x^2 + 1)`

⇒ 2x² + x = A (x² + 1) + (Bx + C) (x + 1)

x के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है।

1 = B + C               ....(2)

स्थिर पदों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है।

0 = A + C                

⇒ C = - A                  ...(3)

x² के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है।

2 = A + B                   .....(4)

(2) और (3) से, हमें प्राप्त होता है,

-A + B = 1

(4) और (5) को हल करने पर, हमें 2B = 3 प्राप्त होता है।

⇒ `B = 3/2` (2) और (5) में B का मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं।

`A = 1/2` and `C = -1/2`

∴ `y = int[(1/2)/(x + 1) + (3/2 x - 1/2)/(x^2 + 1)]  dx`

⇒ `y = 1/2 log (x + 1) + 3/4 int (2x)/ (x^2 + 1)  dx - 1/2 int dx/(x^2 + 1)`

⇒ `y = 1/2 log (x + 1) + 3/4 log (x^2 + 1) - 1/2 tan^-1 x + C`

जब, x = 0, y = 1

⇒ `1 = 1/2 log 1 + 3/4 log 1 - 1/2 tan^-1 (0) + C`

⇒ C = 1

इसलिए, एक विशेष समाधान है।

`y = 1/2 log (x + 1) + 3/4 log (x^2 + 1) - 1/2 tan^-1 x +1`

⇒ `y = 1/4 log [(x + 1)^2 (x^2 + 1)^3] - 1/2 tan^-1 x + 1`