Question

किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घंटो में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घंटो में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी। यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनमें उपस्थित संख्या के समानुपाती है।

Answer 1

माना किसी समय t पर जीवाणुओं की संख्या y है।

दिया है: `dy/dt prop y` 

या `dy/dt = ky`

या `dy/y =` k dt

समाकलन करने पर `int dy/y = int k dt + C`

⇒ log y = kt + C

जब t = 0, y = y₀

∴ log y₀ = 0 + C

⇒ log y = kt + log y₀

या log y - log y₀ = kt

`=> log  y/y_0` = kt          .... (i)

2 घंटे में जीवाणुओं की संख्या में 10% की वृद्धि होती है।

t = 2,

y = y₀ + `10/100` y₀ = `110/100` y₀

समीकरण (i) में t = 2, y = `11/10` y₀ रखने पर,

`therefore  log  (11/10  y_0)/y_0 = k . 2`

या `log  11/10` = 2k

`therefore k = 1/2  log  11/10`

k का मान (i) में रखने पर,

`log  y/y_0 = (1/2  log  11/10)` t           ..... (ii)

माना t समय में जीवाणु 1,00,000 से 2,00,000 हो जाता है।

`therefore y_1/y_0 = (2,00,000)/(1,00,000) = 2`

`y_1/y_0` का मान समीकरण (ii) में रखने पर,

log 2 = `(1/2  log  11/10)` t

`therefore t = (2 log 2)/(log  11/10)`

अंत: ` (2 log 2)/(log  11/10)`  घंटो में जीवाणु 1,00,000 से 2,00,000 हो जायेंगे।