Advertisements
Advertisements
प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
ex tan y dx + (1 - ex) sec2 y dy = 0
Advertisements
उत्तर
हमारे पास है, ex tan y dx + (1 - ex) sec2 y dy = 0 या ex tan y dx = -(1 - ex) sec2 y dy
⇒ `e^x/(1 - e^x) dx = (-sec^2y)/(tany) dy` ...(1)
दोनों पक्षों (1) को एकीकृत करने पर, हम प्राप्त करते हैं।
`int(e^x)/(1 - e^x) dx = - int(sec^2 y)/(tan y) dy`
माना `I_1 = int e^x/(1 - e^x) dx`
और `I_2 = int(sec^2y)/(tan y) dy`
अब, `I_1 = int e^x/(1 - e^x) dx`
∴ 1- ex = t रखने पर,
⇒ -ex dx = dt
`I_1 = int (-dt)/t = -log |t| - log C_1`
`= - log (t C_1) = -log ((1 - e^x)C_1)` ....(2)
अब, `I_2 = int (sec^2 y)/(tan y) dy`
∴ tan y = t रखने पर,
⇒ sec2 y dy = dt
`I_2 = int dt/t = log |t| + log C_2`
`= log |tany| + log C_2`
= log (C2 tan y)
इसके अलावा I1 = -I2
⇒ - log (C1 (1 - ex))
= - log (C2 tan y)
⇒ C1 (1 - ex) = C2 tan y
⇒ tan y = C (1 - ex)
आवश्यक समाधान है।
APPEARS IN
संबंधित प्रश्न
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`dy/dx = (1 - cos x)/(1 + cos x)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`dy/dx sqrt(4 - y^2) (-2 < y < 2)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`dy/dx + y = 1 (y ne 1)`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
sec2 x tan y dx + sec2 y tan x dy = 0
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
(ex + e-x) dy - (ex - e-x) dx = 0
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`dy/dx` = (1 + x2) (1 + y2)
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
y log y dx - x dy = 0
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`x^5 dy/dx = - y^5`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।
`dy/dx = sin^-1 x`
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
`(x^3 + x^2 + x + 1) dy/dx = 2x^2 + x`; y = 1 यदि x = 0
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
`x (x^2 - 1) dy/dx = 1` ; y = 0 यदि x = 2
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
`cos (dy/dx) = a (a in R)`: y = 1 यदि x = 0
निम्नलिखित प्रश्न में अवकल समीकरण के लिए दिए हुए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए।
`"dy"/"dx"` = y tan x ; y = 1 यदि x = 0
अवकल समीकरण `xy dy/dx = (x + 2)(y + 2`) के लिए बिंदु (1, -1) से गुजरने वाला वक्र ज्ञात कीजिए।
बिंदु (0, -2) से गुजरने वाले एक ऐसे वक्र का समीकरण ज्ञात कीजिए जिसके किसी बिंदु (x, y) पर स्पर्श रेखा की प्रवणता और उस बिंदु के y निर्देशांक का गुणनफल उस बिंदु के x निर्देशांक के बराबर है।
एक गोलाकार गुब्बारे का आयतन, जिसे हवा भरकर फुलाया जा रहा है, स्थिर गति से बदल रहा है। यदि आरंभ में इस गुब्बारे की त्रिज्या 3 इकाई है और 3 सेकंड बाद 6 इकाई है, तो t सेकंड बाद उस गुब्बारे की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि r % वार्षिक की दर से होती है। यदि 100 रुपये 10 वर्षों में दुगने हो जाते हैं, तो r का मान ज्ञात कीजिए। (loge 2 = 0.6931).
किसी बैंक में मूलधन की वृद्धि 5% वार्षिक की दर से होती है। इस बैंक में 1000 रुपये जमा कराये जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि 10 वर्ष बाद यह राशि कितनी हो जाएगी? (e0.5 = 1.648)
किसी जीवाणु समूह में जीवाणुओं की संख्या 1,00,000 है। 2 घंटो में इनकी संख्या में 10% की वृद्धि होती है। कितने घंटो में जीवाणुओं की संख्या 2,00,000 हो जाएगी। यदि जीवाणुओं के वृद्धि की दर उनमें उपस्थित संख्या के समानुपाती है।
